Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci beaucoup pour l'exemple. Mais dites moi s'il vous plaît, pouvez vous m'expliquer plus, pourquoi en mécanique classique le nez saignes et on pleure, et en mécanique quantique, on se poses de telles questions? Expliquez moi s'il vous plaît.
Merci beaucoup.

Bonjour,
j'ai le problème suivant:
$\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < l, t > 0\\
& u(0,t)=0,\\
& \dfrac{\partial u}{\partial x} (l,t)=0, t \geq 0\\
& u(x,0) = f(x), 0 \leq x \leq l
\end{cases}
$
La question est de montrer que ce problème admet une unique solution. Pour cela, on suppose qu'il existe deux solutions
$u_1$ et $u_2$, et on pose $v=u_1- u_2$. En multipliant l'équation par $v(x,t)$, puis en intégrant par parties, on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^l [\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t} (x,t) v(x,t) dt] dx - k \displaystyle \int_0^T [\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x,t) v(x,t) dx] dt=0
$$
ce qui implique
$$
\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t}(x,t) v(x,t) = \dfrac{1}{2} [v^2(x,T)- v^2(x,0)]
$$
et
$$
\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}. v(x,t) dx = \dfrac{\partial v}{\partial x}(l,t). v(l,t) - \dfrac{\partial v}{\partial x}(0,t).v(0,t) - \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l [\dfrac{\partial v}{\partial x}]^2 dx
$$
ainsi, on conclut
$$
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,T) dx - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,0) dx + k \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l (\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t))^2 dx=0.
$$
Ma question est: quels argument utiliser pour conclure que $$v(x,t)=0\;\forall\; (x,t)\;? $$
Merci

Je ne comprend pas pourquoi, dans le cas où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex], je trouve qu'il y'a des valeurs propres strictement négatives, mais en posant [tex]\lambda = - \alpha^2[/tex] où[tex] \alpha \in \mathbb{R}^*[/tex], je trouve qu'il n'y pas de valeurs propres strictement négatives. Qu'est ce qui cloche? S'il vous plaît.

Oui mais quand ils posent la question: est-ce qu'il y'a des valeurs propres négatives? positives? compxes? Cela signifie qu'il faut trouver des \lambda de la forme x+iy pour déclarer l'existence des complexes. Non? Pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

Oui, je sais résoudre cette équation.
On a l'équation algébrique [tex]r^2 + \lambda = 0[/tex], où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex]. On pose [tex]r = x+ i y[/tex], et [tex]\lambda = \alpha + i \beta[/tex].
[tex]r^2 = - \lambda[/tex] implique [tex](x+iy)^2 = - \alpha - i \beta = x^2+y^2 + 2 i x y[/tex]
On a deux équations: [tex]x^2 - y^2 = Re(-\lambda)[/tex], et [tex]x^2 + y^2=|-\lambda|[/tex]. Ainsi, on déduit que:
[tex]x^2=\dfrac{Re(-\lambda) + |-\lambda|}{2}[/tex] et[tex] y^2 = \dfrac{|-\lambda| - Re(-\lambda)}{2}[/tex]
ce qui implique que
[tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] ou [tex] x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] et [tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex] ou  [tex]x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex]
Du coup, je suis perdue parce que je ne sais pas comment conclure sur les deux solutions de l'équation algébrique, et par conséquent, sur les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation differentielle.

2- la solution générale de l'équation est [tex]y(x)=A e^{irx} + B e^{-irx}[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux constante réelles constantes.
Après ca,on cherche[tex] A[/tex] et [tex]B[/tex] pour que [tex]y[/tex] vérifie les conditions aux limites.
[tex]y(0)-2 y(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] A+B-2A e^{i2 \pi r} - 2 B e^{-2 \pi i r} = 0[/tex] qui signifie que
[tex]A(1 - 2 e^{2 \pi i r}) + B(1 - 2 e^{-2 \pi i r})=0[/tex]
et
[tex]y'(0)-y'(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] ir[A(1 - e^{2 i \pi r}) + B(1 -e^{-2 i \pi r})]=0[/tex]

Pour trouver A et B, il faut donc résoudre ce système à deux équations. Avez vous une méthode simple pour ca? .ce qui me bloque, c'est la présence de i et de $r$ qui est complexe. Si on travaillais avec des réels, et sans i, j'aurais calculé le détérminant pour voir: si le determinant est nul, alors la solution est trivial, sinon, il y'a une infinité de solution. Mais dans ce cas, qu'est ce qu'on peut faire pour résoudre ce système? Merci de m'aider.

Mais dans la méthode avec \lambda \in \R, quand \lambda > 0 par exemple, je prend \lambda = \alpha^2 où \alpha \in \R^* et je travail, mais là, je ne sais pas par où commencer. Aidez moi à commencer svp

Non, non, là ce n'est pas moi qui ai fais une erreur, il n'y a pas de condition initiale dans l'énoncé, je vous en donne ma parole.
J'en déduit qu'il nous faut une condition initiale pour avoir l'unicité, c'est bien logique, j'aurai dû y penser.
Si on ajoute la condition initiale [tex]u(0,x)=0[/tex]. On a par le premier terme de l'égalité d'énergie obtenue, que [tex]v^2(x,T)=v^2(x,0)[/tex], je ne vois pas comment on peut en déduire que v(x,t) = 0 pour tout x et pour tout t. Merci de m'aider pour ce dernier point s'il vous plaît.

Roro, je suis sincèrement désolée, j'ai pensais avoir bien posé ma question.
En fait, j'ai le problème suivant:
[tex]
\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < 1, t > 0\\
& u(0,t)=0, u(1,t)+ \dfrac{\partial u}{\partial x} (1,t)=0
\end{cases}
[/tex]
et la question initiale est de montrer que ce problème admet une solution unique. J'ai donc supposé qu'il y'a deux solutions [tex]u_1[/tex] et [tex]u_2[/tex], je pose [tex]v(x,t)= u_1(x,t)-u_2(x,t)[/tex], et je montre que [tex]v(x,t)=0[/tex] pour tout [tex](x,t)[/tex].
En multipliant l'équation par v, puis en intégrant par parties sur [tex][0,T]\times [0,1][/tex], on obtient:
[tex]
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^1 [v^2(x,t)]_0^T dx + \displaystyle\int_0^T [v(1,t)]2 dt + \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_0^1 [\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t)]2 dx dt = 0
[/tex]
Pourquoi cela implique t-il que v(x,t)=0 pour tout (x,t)? S'il vous plaît..

C'est dans la recherche des valeurs propres, on regarde le cas où[tex] \lambda > 0[/tex]. Sinon pour le reste, j'ai enfin compris. Merci beaucoup pour votre aide.

S'il y'a une infinité de solution ca implique directement qu'il y'en a au moins une qui est non nulle. Non? Pourquoi essayer de le démontrer?