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#26 Re : Entraide (supérieur) » Racine d’un polynome » 19-08-2021 13:14:25
Oui c’est vrai qu’elles peuvent être multiples mais comment peut on trouver la multiplicité de chaque racine ?
#27 Entraide (supérieur) » Intégrale » 19-08-2021 12:35:46
- Buu
- Réponses : 6
Bonjour ,
J’ai un problème pour calculer
$\int_0^{\pi}\,\ln (x^2-2xcos(t)+1)\,dt$
On me demande de la calculer en utilisant la décomposition en facteur irréductible de $x^n -1$ dans le cas ou n est pair mais je n’arrive pas à l’utiliser pour calculer l’intégrale.
Pouvez vous me donner des pistes de réflexion sans me donner la réponse ?
Merci d’avance
#28 Re : Entraide (supérieur) » Racine d’un polynome » 19-08-2021 12:13:33
Alors en résolvant analytiquement |a|=|a+1|=1
Je trouve que a = [tex]\ e^{i2\pi/3}[/tex] ou
a = [tex]\ e^{-i2\pi/3}[/tex]
Ainsi le polynôme est sous la forme
[tex]\lambda (X - j) (X-j^2) [/tex] = [tex]\ lambda [/tex]*(X^2+X+1)
Réciproquement, si on suppose que ce polynôme est solution on trouve que [tex]\lambda =1 [/tex]
#29 Re : Entraide (supérieur) » Racine d’un polynome » 19-08-2021 09:19:17
re-bonjour,
Un coup de pouce pour le 4)
Les renseignements que l'on a:
- si P n'a aucune racine, c'est donc que P est un polynôme constant non nul ( par hypothèse) , tu peux montrer alors que P=1 d'après la relation de départ- si P a une racine a, on a les propriétés que a est à mi-distance (=1) de -1 et de 0, comme son carré d'ailleurs.
Sauf erreur P est de la forme [tex]\lambda (X - j) (X-j^2)[/tex] avec [tex]j = e^{i2\pi/3}[/tex] et [tex]\lambda [/tex] un complexe non nul,
mais [tex]\lambda = 1 [/tex] (toujours en regardant la propriété de départ [tex]\lambda^2 = \lambda[/tex] ).
Conclusion:Un polynôme complexe vérifiant les hypothèses est en fait un polynôme réel :
- Soit P = 1 (pas de racines)
- Soit P = [tex] (X - j) (X-j^2)[/tex] (que je te laisse développer, les racines étant conjuguées, il est dans [tex]\mathbb{R}[X][/tex].Alain
Bonjour, je n’ai pas compris comment vous avez trouvé la forme du polynôme P s’il possède une racine
#30 Re : Entraide (supérieur) » Racine d’un polynome » 18-08-2021 14:02:26
Ah oui donc (a+1)^2 = 0 ou (a+1)^2 = 1 d’après la question 1
Mais comment montrer que la premier possibilité est impossible ? Car |a| =1 d’après la question 1
#31 Entraide (supérieur) » Racine d’un polynome » 18-08-2021 13:27:04
- Buu
- Réponses : 24
Bonjour,
J’ai un exercice que je n’arrive pas à résoudre:
Soit P un polynôme non nul de C[X] tel que
P(X^2)=P(X)P(X-1)
1) montrer que si a est racine a^2 aussi
En déduire que a =0 ou |a|=1
2) montrer que 0 n’est pas racine de P
3)montrer que si a est une racine de P alors |a+1| =1
4)En déduire les racines de P et son expression
Pouvez vous me donner des pistes pour la question 3 et 4 (sans me donner la réponse )
Merci
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