Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, j'essaie d'éplucher cette définition :

Définition 78. Soit V₀ ∈V, et soit f,g deux fontions définies sur V₀. On dit que f est négligeable devant g (ou que f est un petit o de g), et on note f = o(g), si : ∀ε > 0 ∃V ∈V ∀x ∈V₀    x ∈V  ⇔ |f(x)| <=  ε|g(x)|

Je ne comprend rien du tout! V₀ et V sont quoi? Des intervalles? Compris dans un autre intervalle ou ensemble V? Donc si j'essaie de déchiffrer la définition dit que dans un intervalle V₀ sont définies les fonctions f et g, et cet intervalle appartient à V, qui apparemment est le voisinage d'un nombre, on dit que f est négligeable devant g si pour toute fonction ou chiffre ε positif il existe un deuxième intervalle appartenant au voisinage V et pour tout x du premier intervalle V₀ : x appartient au deuxième intervalle V implique |f(x)| <=  ε|g(x)|.

ça n'a pas de sens pour moi, je ne vois donc pas comment on peut exploiter celà.

Bonjour, j'ai un souci de compréhension avec la solution de cet exercice :

Soient a < b deux réels. Soit l’espace vectoriel E = A([a,b],R) des applications de [a,b] dans R muni des lois habituelles. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E?

b) l’ensemble des applications f : [a,b] →R telles que 2f(a) = f(b),

solution :
A = {f : [a,b] →R/2f(a) = f(b)} est un sous espace vectoriel de R[a,b]car  2f0(a) = f0(b) = 0 donc f0 ∈A
∀(f,g) ∈A² 2(f + g)(a) = 2f(a) + 2g(a) = f(b) + g(b) = (f + g)(b)
∀f ∈A ∀λ ∈ K 2(λf)(a) = 2λf(a) = λf(b) = (λf)(b)

pourquoi lambda est-il pris dans K puisque A est un sous espace vectoriel de R[a,b]?

Je ne comprend pas la réponse à cet exercice :
Soient a < b deux réels. Soit l’espace vectoriel E = A([a,b],R) des applications de [a,b] dans R muni des lois habituelles. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ?
a) l’ensemble des applications surjectives (resp. injectives) f : [a,b] →R,
solution :
Notons f0 l’application identiquement nulle de [a,b] dans R.
• S = {f : [a,b] → R/f surjective } n’est pas un sous espace vectoriel de R[a,b] car f0 n’est pas surjective de [a,b] sur R.
•I = {f : [a,b] →R/f injective } n’est pas un sous espace vectoriel deR [a,b] car f0 n'appartient pas à I.

Pourquoi f0 n'est pas surjective de [a,b] sur R?

Pourquoi f0 n'appartient pas à I?

BONJOUR,

------------------------------
Je pense confondre des choses. Si vous pouviez m'aider à comprendre ce que représente une sous suite h_2n ...

Admettons h_n = ∑(1/k) entre 1 et 4. c'est donc la somme de 1 + 1/2 + 1/3 +1/4.

h_2n sa sous série ne prend en compte que ses éléments d'indices pairs donc h_2n = ∑(1/2k) entre 1 et 2;

soit 1/2 + 1/4. (1)

Oui mais h_2n est aussi égale à ∑(1/k) entre 1 et 4 + ∑(1/k) entre 5 et 8 (entre n+1 et 2n), c'est-à-dire

1+1/2+1/3+1/4+1/5 +1/6 +1/7 + 1/8 (1)

Or (1) != (2)

Donc il y a quelque chose que je ne cerne pas.
-------------------------------------------

MERCI.

Bonjour

Je copie colle la démonstration d'un corrigé de mon prof pour une remise dans le contexte :

Considérons (u_n)n∈N définie par u_2n = n et u_2n+1 = 0. D'une part, (u_n)n∈N n'est pas majorée, puisque u_2n = n (quand n→+∞) = +∞. D'autre part, 0 est valeur d'adhérence de (u_n)n∈N, puisque la suite extraite (u_2n+1)n∈N est constante égale à 0, donc converge vers 0 : en particulier, (u_n)n∈N ne tend pas vers +∞.[...] 0 est la seule valeur d'adhérence dans R de la suite (u_n)n∈N. Pour montrer formellement cette dernière affirmation, on peut procéder de la sorte. Soit a ∈R, a != 0. On choisit ε = |a|/ 2 et N = 3|a|. Alors pour tout n ≥ N, |u_n−a| > ε. En effet, si n est impair, alors u_n = 0 et |u_n−a| = |a| > |a| /2 = ε. Et si n est pair, alors u_n = n /2 et |u_n −a| = |n/ 2 −a|≥ ||n /2| −|a|| = |n/2 -|a||    etc...

Je bloque. D'une part on dit que u_n étant paire, elle vaut n puis ça change et elle vaut ensuite n/2. Ca vient d'où?