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bonux

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relation o

Bonjour, j'essaie d'éplucher cette définition :

Définition 78. Soit V₀ ∈V, et soit f,g deux fontions définies sur V₀. On dit que f est négligeable devant g (ou que f est un petit o de g), et on note f = o(g), si : ∀ε > 0 ∃V ∈V ∀x ∈V₀    x ∈V  ⇔ |f(x)| <=  ε|g(x)|

Je ne comprend rien du tout! V₀ et V sont quoi? Des intervalles? Compris dans un autre intervalle ou ensemble V? Donc si j'essaie de déchiffrer la définition dit que dans un intervalle V₀ sont définies les fonctions f et g, et cet intervalle appartient à V, qui apparemment est le voisinage d'un nombre, on dit que f est négligeable devant g si pour toute fonction ou chiffre ε positif il existe un deuxième intervalle appartenant au voisinage V et pour tout x du premier intervalle V₀ : x appartient au deuxième intervalle V implique |f(x)| <=  ε|g(x)|.

ça n'a pas de sens pour moi, je ne vois donc pas comment on peut exploiter celà.

Yassine

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Re : relation o

Bonjour,
Je pense qu'il y a deux soucis avec ta définition :
1) la dernière équivalence doit être une implication plutôt.
2) Ton V semble être l'ensemble de tous les ouverts. Or, il suffit que je prenne $V = \emptyset$ pour que la condition $\forall x \in V_0,\quad x \in V \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ soit toujours vérifiée.

Il faudrait nous donner plus de contexte (éventuellement un lien vers l'article ou le livre qui comporte cette définition).

bonux

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Re : relation o

Voici l'introduction à cette définition :
Soit a ∈R. On note V_a l’ensemble des voisinages de a, c’est-à-dire des partiesde R de la forme ]a−η,a + η[ avec η > 0 :
V_a ={]a−η,a + η[ : η ∈]0,+∞[}.
De même, on considère les ensembles des voisinages de +∞ (resp. −∞) :
V_+∞ ={]C,+∞[ : C ∈R}
V_−∞ ={]−∞,C[ : C ∈R}.
On notera V pour désigner V_a, V_+∞ ou V_-∞

Yassine

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Re : relation o

Ok, ça exclue le cas $\emptyset$ dans V

Je pense qu'il doit manquer le terme "sur V₀" dans ta définition :

on dit que $f$ est négligeable devant $g$ sur V₀ si ...

Globalement, ce que ça dit, c'est que on peut rendre $f$ aussi petite comparé à $g$ qu'on le veut, pour peu qu'on restreigne les fonction à un ouvert plus petit.

Plus formellement, l'écriture $\forall x \in v_0 \quad x \in v \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ peut simplement être remplacée par $\forall x \in v_0 \cap v \quad |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$.
Ce qui peut encore se simplifier en remplaçant le $\exists v \in \textbf{V}$ par $\exists v \subset v_0$ (même si c'est un abus de notation).

Donc, ça devient,

Soit $v_0 \in \textbf{V}$, $f$ et $g$ deux fonction définie sur $v_0$. On dira que $f$ est négligeable devant $g$ sur $v_0$, qu'on notera $f=o(g)$ si
$\forall \epsilon > 0, \exists v \subset v_0, \quad \forall x \in v\ |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$

En fait cette définition compliquée comme ça permet d'unifier 3 définitions en une seule :
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $+\infty$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $-\infty$

Le fait de préciser $v \subset v_0$ permet d'affiner le $v$, soit en le rendant proche de $a$ pour le premier cas, soit en l'approchant de l'infini dans les deux autres cas.

bonux

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Re : relation o

merci Yassine, ton explication est très efficace!