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Par exemple dans une fonction  y= f(x)  : on dit que y est l'image de x  par  la fonction f

oui sa circulation le long d'un cercle unité dans  R²-{(0,0)} est  nulle

j'ignore comment on  fait le lien entre dérivée partielle et espace vectorielle

mais dans ton exemple
si  [tex]\lambda_1 \vec{e}_1 - \lambda_2 \vec{e}_2 = \vec{0}[/tex]  alors   [tex]\lambda_1 .{  e}_{ 1j } - \lambda_2 .{e  }_{ 2j }= 0[/tex]  pour chaque terme  j

Maintenant si  [tex]\vec{e}_1[/tex] est composé d'un unique terme  dx
de même [tex]\vec{e}_2[/tex] avec  dy
n'avons-nous pas    [tex]\lambda_1 .dx - \lambda_2 .dy= 0[/tex]  ?

En effet c'était un exemple à une seule variable :(
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Mais dans le cas de 2 variables on peut partir  d'une ligne de courbe f =c  pour retrouver dy/dx ,
[tex]{ f }_{ (x,y) }\quad =\quad c\quad =\quad cte\\ df\quad =\quad \frac { \delta f }{ \delta x } dx\quad +\frac { \delta f }{ \delta y } dy\quad =\quad 0\\ [/tex]
[tex] \frac { dy }{ dx } \quad =\quad -\frac { \frac { \delta f }{ \delta x }  }{ \frac { \delta f }{ \delta y }  }  [/tex]
Pour   f = x²+y²    =>    dy/dx = - x/y
Avec  [tex]f\quad \neq cte[/tex] on trouve df/dy  ou  df/dx
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Dans le cas de 3 variables

[tex]{ f }_{ (x,y,z) }\quad =\quad c =cte\\ df\quad =\quad \frac { \delta f }{ \delta x } dx+\frac { \delta f }{ \delta y } dy+\frac { \delta f }{ \delta z } dz\quad =0\\  [/tex]
[tex]\frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { \frac { \delta f }{ \delta x } +\frac { \delta f }{ \delta z } \frac { dz }{ dx }  }{ \frac { \delta f }{ \delta y }  } [/tex]
Dans  l'exemple des coordonnées sphériques où x,y et z sont fonction de r,n et t :
[tex]{ f }_{ (x,y,z) }\quad =\quad c\quad =\quad { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 }{ +z }^{ 2 }[/tex]
[tex]\frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { x+z\frac { dz }{ dx }  }{ y } \quad =\quad -\frac { x+z\frac { dz }{ dr } \frac { dr }{ dx }  }{ y }  [/tex]
[tex] \frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { \cos ^{ 2 }{ n } .\cos ^{ 2 }{ t } +\sin ^{ 2 }{ t }  }{ \sin { n } .\cos { t }  } [/tex]
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c'est noté pour l'inverse et sa dérivée :)

@Fred
merci de cet éclaircissement
oups effectivement c'est une erreur d'écriture ,car c'est bien
[tex]\vec { F } =\quad \left( \frac { -y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  \right) [/tex]
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Si [tex]\vec{ r } [/tex] = (cost,sint)  est le cercle unité
[tex]\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \vec { F } \vec { dr }  } \quad =\quad 2\pi \quad \neq \quad 0\quad[/tex]

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Donc la définition d'exact , c'est que [tex]\vec { F } [/tex]  soit issu d'un scalaire (donc fermé) et sa circulation nulle le long d'un cercle unité?
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ça peut être autre qu'un cercle aussi ?

@Terces
Merci pour ta réponse.
En effet en considérant y et z dépendant de x , on arrive au même résultat que (a)
[tex]r^2=x^2+y^2+z^2[/tex]

[tex]2r\,dr=2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz[/tex]

[tex]r\frac{dx}{dr}=x+y\frac{dy}{dx}+z\frac{dz}{dx}[/tex]

[tex]r\frac{dx}{dr}=x+y\frac{dy}{dr}\times \frac{dr}{dx}+z\frac{dz}{dr}\times \frac{dr}{dx}[/tex]

En remplaçant ces expressions par leurs valeurs, on trouve :
[tex]\frac{dr}{dx}=\frac{1}{\cos n \cos t}[/tex]

@Fred
Merci pour ces précisions que je vais examiner.