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prak

Invité

Probabilités et événements

Bonjour à tous,

Merci pour votre aide ! 

Soit (Ω,P) un espace de probabilité. Soient A et B deux événements tels que : P(A)=0,4 ; P(B^C )=0,6 et P(A^C∩B)=0,1. Déterminer P(A∪B^C ).

A^C désigne le complémentaire de A

Ma réponse :
P(A∪B^C )=P(A)+P(B^C)-P(A∩B^C )
P(A∪B^C )=1-P(A∩B^C)

Or,
P(A∩B^C )=P(A)+P(B^C )-P(A∪B^C )
P(A∩B^C )=1- P(A∪B^C )
P(A∩B^C )=P(A^C∩B)
P(A∩B^C )=0,1

D'où :
P(A∪B^C )=0,9

On considère à présent quatre événements A,B,C et D tels que A et B sont disjoints et D est inclus dans (A∪B∪C)^C. De plus, B∩C est deux fois plus probable que A∩C, tandis que P(A∩C^C )=P(B∩C^C )=0,2, et P(D)=P((A∪B∪C∪D)^C)=P(C∩A^C∩B^C )=0,1.

Calculer la probabilité que parmi les événements A,B,C,D :

Aucun ne se réalise.
Ma réponse, enfin ce que j'ai écrit :
P((A∩B∩C∩D))^C=P(A^C∪B^C∪C^C∪D^C)

Exactement deux ne se réalisent pas.
Au plus deux se réalisent.
Exactement un se réalise.

Merci !

yoshi

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Re : Probabilités et événements

Salut,

J'interviens sur la forme que je ne trouve pas très claire avec les ^C et si tu veux de l'aide...
B^C complémentaire de B  soit [tex]\bar B[/tex]

A^C∩B (complémentaire de A) inter B, autrement dit [tex]\bar A \cap B[/tex] ?
C'est bien ça ?

Lire Code Latex te serait hautement profitable ^_^

@+

Dernière modification par yoshi (02-10-2016 20:36:20)

prak

Invité

Re : Probabilités et événements

En fait, B^C est le complémentaire de B (c'est la notation que nous a introduit notre professeur).
Ou alors, c'est B^C (J'aurais dû faire cela dès le début).

Et A^C∩B, c'est (Complémentaire de A) UNION (B)

Désolé pour la syntaxe...

yoshi

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Re : Probabilités et événements

Salut,

J'avais modifié mon post avant de voir ta réponse...
Je reprends :
B^C complémentaire de B  soit [tex]\bar B[/tex].
A^C∩B (complémentaire de A) inter B, autrement dit [tex]\bar A \cap B[/tex] ?

C'est bien ça ?
Attention,[tex] \cap[/tex] c'est inter, union, c'est [tex]\cup[/tex]...

Lire Code Latex te serait hautement profitable ^_^

@+

[EDIT]
Jamais vu encore [tex]B^{\,c}[/tex], je comprends maintenant le ^C

Dernière modification par yoshi (02-10-2016 20:48:37)

prak

Invité

Re : Probabilités et événements

Oooops oui, c'est bien INTER (quelle étourderie) !
Sinon, c'est exactement ça.

freddy

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Re : Probabilités et événements

Salut,

tout cela a l'air bien trop compliqué.
Te souviens tu que [tex]\Pr(A)=1-\Pr(\bar{A})[/tex]  ?
Si oui, comment peux tu écrire [tex]\Pr(A\cup \bar{B}) = \cdots [/tex] ?
La réponse est alors immédiate.

Je ne comprends pas encore très bien la suite ...

PS : oui, [tex]B^c[/tex]est utilisé pour désigner le complémentaire de B par rapport au référentiel [tex]\Omega[/tex], mais c'est une très ancienne notation.

prak

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Re : Probabilités et événements

Désolé pour le Latex, je ne maîtrise pas du tout (sauf sur le logiciel Lyx, qui transforme tout en Latex...)

Pour la 2a, en fait, tout était dans l'énoncé !
En effet, on a : P(A^C∩B^C∩C^C∩D^C) = P((A∪B∪C∪D)^C) = 0,1.

freddy

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Re : Probabilités et événements

Re,

je reprends pour vérification.

On considère à présent quatre événements A,B,C et D tels que A et B sont disjoints et D est inclus dans [tex]\overline{A\cup B\cup C}[/tex]

De plus, [tex]\Pr(B\cap C) = 2\times \Pr(A\cap C)[/tex] tandis que [tex]\Pr(A\cap \bar{C} )=\Pr(B\cap \bar{C} )=0{,}2[/tex]

Enfin [tex]\Pr(D)=\Pr(\overline{A\cup B\cup C\cup D})=\Pr(C\cap \bar{A}\cap \bar{B} )=0{,}1[/tex]

Sommes nous d'accord ?

OK, corrigé !

Dernière modification par freddy (04-10-2016 05:47:07)

prak

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Re : Probabilités et événements

Juste, P(B∩C) = 2*P(A∩C). Sinon, c'est exactement ça ! :)

freddy

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Re : Probabilités et événements

Re,

bon, là, faut faire un petit dessin ensembliste pour bien repérer tous les événements décrits et répondre aux questions posées.
A demain matin !

freddy

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Re : Probabilités et événements

Re,

La probabilité qu'aucun des 4 événements, aucun ne se réalise est celle de la réalisation du complémentaire par rapport à[tex] \Omega[/tex] de la réunion de ces 4 événements, ce que tu as écrit. Ne reste plus qu'à mettre en musique mais la réponse est donnée dans l'énoncé ! :-) comme tu l'as remarqué*.

Puisqu'on demande la probabilité qu'au plus deux se réalisent et qu'on connait la probabilité d'aucun, il reste à calculer celle d'un exactement puis celle de deux exactement, ce qui répond en même temps à toutes les autres questions.

Pour le calcul de la probabilité qu'un seul événement se réalise, il faut lister tous les cas : A et non (B, C, D), puis B et non(A, C, D), puis C et non(A, B, ), usw ...

Idem pour deux exactement.

On you !

PS : j'ai mal lu l'énoncé, on ne demande rien pour deux événements.

*PS 1 : il y a donc un cinquième événement implicite classique, si je puis dire. Si on l'appelle E, la réunion des 5 événements donne le référentiel [tex]\Omega[/tex]

Dernière modification par freddy (04-10-2016 05:45:56)

freddy

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Re : Probabilités et événements

Re,

tout compte fait et sauf erreur, je trouve [tex]\Pr(A\cap C)=0{,}1[/tex]
Tu devrais pouvoir répondre aux autres questions.

freddy

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Re : Probabilités et événements

Re,

suite ...

Calculer la probabilité que parmi les événements A,B,C et D :

Exactement un se réalise.
Elle est donnée par : [tex]\Pr(A \setminus A\cap C) +  \Pr(B \setminus B\cap C) +  \Pr(C \setminus \{(C\cap A) \cup (C\cap B)\}) + \Pr(D) = 0{,}60[/tex]

PS : je ne comprends pas bien les autres questions, c'est grave, docteur !

Fan3

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Re : Probabilités et événements

Désolé pour le Latex, je ne maîtrise pas du tout (sauf sur le logiciel Lyx, qui transforme tout en Latex...)

"Daum Equation Editor" de Chromestore écrirt automatiquement en Latex ...faire copie-coller les formules et le tour est joué

Dernière modification par Fan3 (04-10-2016 16:31:37)

yoshi

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Re : Probabilités et événements

Bonsoir,

"Daum Équation Editor" de Chromestore écrirt automatiquement en Latex ...faire copie-coller les formules et le tour est joué

C'est ce que tu utilises donc ? Voilà pourquoi, je trouvais les formules curieusement construites...
Pourquoi pas, mais pour quoi faire ?
Apprendre Latex n'est pas aussi difficile qu'on peut l'imaginer, ça va même assez vite (en un petit 1/4 h on a compris la "philosophie" du langage, on maîtrise les bases, et ça roule...) : des gamins de Collège ont montré qu'ils en étaient capables ! ^_^
Sinon, je rappelle que Fred s'est cassé la tête pour mettre au point, sous Java, un Éditeur d'équation bien suffisant, qui n'est pas infecté même s'il n'est pas accessible en https...

@+