Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci pour la réponse.
Effectivement le produit ne part pas de 1 mais de 2, d'ou l'étude par le log;

Alors strictement convergent cela signifie par définition :
Soit $(u_k)_k$ une suite de $\mathbb{C*}$. Pour $n\geq 1$, on pose $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$.
Si la suite $(p_n)_{n\geq 1}$ converge dans  $\mathbb{C*}$, on dit que le produit infini $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$ est strictement convergent et on pose

$\displaystyle\prod_{k\geq 1}u_k = lim_ {n} p_n$

Je vous avoues, je suis un peu perdu dans l'étude de la convergence des produit infini

Effectivement c'est clair.
On peut conclure que l'approche "par le Log" nous donne une information seulement de convergence du produit.
Tandis que le calcul direct permet de calculer la valeur est d'affirmer la convergence strict ou pas.

Bonjour,

Effectivement, en passant par le log on étudie directement la convergence de la série
car $p_N = exp(\sum log(p_N)$ d’où $log(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln(p_N)$

Donc on a $log(1-1/n²) = -1/n² + o(1/n²)$ d’où la convergence de la série.

Ce que je voulais dire par arrangement c'est de travailler sur le produit infini sans utiliser le log (effectivement ce n'est pas clair dans mon premier post).

J'ai la correction que je ne comprends pas, qui est :

$p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²}) = \prod_{2}^{N}(n-1)\prod_{2}^{N}(n+1)\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²} =\prod_{1}^{N-1}n \prod_{3}^{N+1}n\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²}$, jusqu'à la tout va bien mais je ne sais pas exploiter les 3 produits infinis

Merci pour votre aide

Bonjour,
Oups!!! biensur. $1+|a|$ minore $1+|a|+|b|$ d’où $\frac{|a|}{1+|a|+|b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}$.
merci beaucoup

Bonjour,

Non ce n'est pas évident pour moi, car je dois surement manquer de pratique!

Oui !

Merci beaucoup pour les explication me voila éclairé!

Par contre je m’aperçois que je dois pratiquer beaucoup plus pour avoir des réflexes pour les majorations. car la majoration $2/n$ pour $n \geq 4$ je ne la voyais vraiment pas j'ai besoin de faire des calculs comme tu l'as proposé. D’ailleurs aurais-tu une méthode pour trouver très rapidement la majoration $2/n$ sans calcul.

Je suis un peu perdu, pourrais tu m'éclairer sur la bonne minoration pour arriver à $N(\epsilon) = max(E(2/\epsilon)+1,4)$

Si je fais une étude de variation j'obtiens pour $n=1/4$ un minimum.

Alors la je doute!

Je pars du début et j'écris :
$\forall \epsilon>0, \exists N, n\geq N \Rightarrow |\frac{1}{n- \sqrt(n)}-0|\leq \epsilon$

$|\frac{1}{n- \sqrt(n)}| \leq \epsilon \Leftrightarrow |n- \sqrt(n)|\geq 1/\epsilon$

Il faut donc que je minore (vous aviez raison!) $|n- \sqrt(n)|$

d’où $|n- \sqrt(n)|\geq 2n \geq 1/\epsilon \Leftrightarrow  1/2n\leq \epsilon \Leftrightarrow n\geq1/2\epsilon$

Donc $N(\epsilon) = E( 1/2\epsilon) + 1$

Sauf que dans la correction de cette exo ils prennent le max car il y a une condition supplémentaire $n\geq4$.

Le résultat est : $ N(\epsilon) = max(E(2/\epsilon)+1,4)$

je cherche à montrer que $u_n$ converge vers 0

$\forall \epsilon>0, \exists N, n\leq N \Rightarrow |u_n-l|\leq \epsilon$

Je cherche  à majorer pour trouver un $n\geq N(\epsilon)$

J'ai oublié j'arrive à une majoration de $1/2n$ ...

Bonjour,

Merci pour les explications! je comprends bien  les explications. Il faut maintenant les mettre en pratique.

A bientot

Bonjour Yassine,

Merci beaucoup pour les explications.

Effectivement il faut parler de sous espace vectorielle au lieu de restriction. "mais le terme restriction reste tout même intéressant dans mon interprétation". Peut-être un futur sujet de thèse ;-).
Merci beaucoup.