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#5 02-08-2017 16:14:54
- Yassine
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Re : majoration
Ce que tu as écris est juste, mais pour majorer une fraction, il faut minorer le dénominateur, et non le majorer !
Ci-après une proposition :
$\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{n} \Leftrightarrow n \le 2(n- \sqrt{n}) \Leftrightarrow 2\sqrt{n} \le n \Leftrightarrow 4n \le n^2 \Leftrightarrow 4 \le n $
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#9 02-08-2017 17:07:31
- sbl_bak
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Re : majoration
Alors la je doute!
Je pars du début et j'écris :
$\forall \epsilon>0, \exists N, n\geq N \Rightarrow |\frac{1}{n- \sqrt(n)}-0|\leq \epsilon$
$|\frac{1}{n- \sqrt(n)}| \leq \epsilon \Leftrightarrow |n- \sqrt(n)|\geq 1/\epsilon$
Il faut donc que je minore (vous aviez raison!) $|n- \sqrt(n)|$
d’où $|n- \sqrt(n)|\geq 2n \geq 1/\epsilon \Leftrightarrow 1/2n\leq \epsilon \Leftrightarrow n\geq1/2\epsilon$
Donc $N(\epsilon) = E( 1/2\epsilon) + 1$
Sauf que dans la correction de cette exo ils prennent le max car il y a une condition supplémentaire $n\geq4$.
Le résultat est : $ N(\epsilon) = max(E(2/\epsilon)+1,4)$
Dernière modification par sbl_bak (02-08-2017 17:08:34)
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#12 03-08-2017 11:22:40
- Yassine
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Re : majoration
Bonjour,
La minoration par inégalité triangulaire est $|a-b| \ge |a| - |b|$, donc ici
$|n - \sqrt{n}| \ge n - \sqrt{n}$, ce qui est inutile vu que comme $n \ge \sqrt{n}$, tu sais déjà que $|n - \sqrt{n}| = n - \sqrt{n}$ !
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#14 03-08-2017 14:43:17
- Yassine
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Re : majoration
Bonjour,
Il faut juste remettre les choses dans l'ordre.
D'abord, tu sais que $n \ge 4 \implies \dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{n}$
(on a juste besoin de l'implication)
Ensuite, tu cherche un entier $N$ tels que $n \ge N \implies |\dfrac{1}{n- \sqrt{n}}| < \varepsilon$
Je n'ai pas de contraintes sur $N$, je peux le choisir aussi grand que je veux, je peux en particulier le choisir $\ge 4$.
Donc, je cherche un entier $N \ge 4$ tel que $n \ge N \implies \dfrac{1}{n- \sqrt{n}} < \varepsilon$
(j'ai enlevé la valeur absolue car je sais que la grandeur est positive).
Maintenant, je peux utiliser la première inégalité car j'ai imposé que $n \ge N \ge 4$ :
Je cherche donc un entier $N \ge 4$ tel que $n \ge N \implies \dfrac{2}{n} < \varepsilon$
(car $\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{n}$, c'est donc une condition suffisante pour avoir ce que je cherche)
Soit encore, trouver $N \ge 4$ tel que $n \ge N \implies n > \dfrac{2}{\varepsilon}$
Donc si $N$ est à la fois supérieur à $4$ est à $\dfrac{2}{\varepsilon}$, j'aurais gagné !
D'où le résultat que tu indiques
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#15 03-08-2017 15:09:38
- sbl_bak
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Re : majoration
Pour moi le sujet n'est toujours pas clair car vous partez du résultat. (je comprend sans problème la démarche).
Vous écrivez :"Je n'ai pas de contraintes sur N, je peux le choisir aussi grand que je veux, je peux en particulier le choisir ≥4."
d'accord mais comment choisir? tant qu'à faire il faut choisir ou trouver le plus petit.
Si je peux me permettre il faut partir de ce que l'on connait ie : $\forall \epsilon>0, \exists N, n\geq N \Rightarrow |\frac{1}{n- \sqrt(n)}-0|\leq \epsilon$
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#16 03-08-2017 17:37:01
- Yassine
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Re : majoration
Bonjour,
Je crois que le seul point qui semble tomber du ciel est l'inégalité $\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{n}$ pour $n \ge 4$.
Supposons un instant que tu y arrives par un moyen quelconque, alors ce le reste me parait naturel non ?
Je cherche à montrer que la limite de $f(n)$ est $l$. J'ai une inégalité $|f(n) - l| \le g(n)$, mais uniquement quand $n$ est plus grand qu'un certain $n_0$, mais je sais que je cherche une limite, donc je m'intéresse à des "grandes" valeur de $n$. Donc le fait de se retreindre à $n \ge n_0$ n'est pas du tout une contrainte. J'utilise alors mon inégalité et je trouve que $g(n) < \varepsilon$ si en plus $n \ge n_1$, donc je pose $N=\max(n_0, n_1)$ et je sais que ce $N$ satisfait la condition demandée.
Maintenant, si je reviens à l'inégalité précédente, c'est la pratique des exercices qui te permet d'y arriver.
Ce que j'ai fait pour ma part avant que tu ne donnes la majoration $\dfrac{2}{n}$ c'est la chose suivante :
$\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} = \dfrac{n+ \sqrt{n}}{n^2- n} = \dfrac{1}{n}\dfrac{n+ \sqrt{n}}{n-1}$
Ensuite, je vois que la fraction $\dfrac{n+ \sqrt{n}}{n-1}$ va tendre vers $1$, et donc je sais que je peux la majorer (cela dit, pour ton exercice, on aurait put s'arrêter là vu que par produit, la limite vaut $0$).
Pour la majoration, soit tu utilises un truc très large type $\sqrt{n} \le n$ et donc tu arrives à $\dfrac{n+ \sqrt{n}}{n-1} \le 2\dfrac{n}{n-1}$ et ensuite, tu dis que pour $\dfrac{n}{n-1} \le 2$ quand $n \ge 2$ et tu arrives plutôt à $\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{4}{n}$ (ce qui marche bien aussi) soit tu utilises une inégalité plus fine $\sqrt{n} \le n-2$ quand $n \ge 4$ et tu arrives à l'inégalité initiale.
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#17 04-08-2017 10:29:59
- sbl_bak
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Re : majoration
Bonjour,
Je crois que le seul point qui semble tomber du ciel est l'inégalité $\dfrac{1}{n- \sqrt{n}} \le \dfrac{2}{n}$ pour n≥4.
Non ce n'est pas évident pour moi, car je dois surement manquer de pratique!
Supposons un instant que tu y arrives par un moyen quelconque, alors ce le reste me parait naturel non ?
Oui !
Merci beaucoup pour les explication me voila éclairé!
Par contre je m’aperçois que je dois pratiquer beaucoup plus pour avoir des réflexes pour les majorations. car la majoration $2/n$ pour $n \geq 4$ je ne la voyais vraiment pas j'ai besoin de faire des calculs comme tu l'as proposé. D’ailleurs aurais-tu une méthode pour trouver très rapidement la majoration $2/n$ sans calcul.
Dernière modification par sbl_bak (04-08-2017 10:31:13)
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