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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration avec PGCD » 24-08-2026 13:42:56
Merci pour ces compléments d'infos mais tout n'est pas encore clair.
En effet, il est possible de résoudre l'exercice en raisonnant par contraposition mais il semblerait qu'il n'y ait pas d'équivalence en logique intuitionniste entre [tex]A=>B[/tex] et [tex]non B=>non A[/tex] du coup je pense que la résolution est incomplète. Il faut une réciproque.
Tout ceci me perd au final, c'est compliqué la logique.
#2 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration avec PGCD » 24-08-2026 08:32:29
Bonjour jelobreuil,
Le raisonnement à effectuer serait donc :
Pour prouver que [tex](m+n)[/tex] premier implique [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] premiers entre eux, montrons que :
[tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] non premiers entre eux implique [tex](m+n)[/tex] non premier.
Désolé d'insister mais pour moi, le raisonnement utilisé est fondamentale (c'est la base, le reste en découle).
#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Démonstration avec PGCD » 24-08-2026 08:11:14
Bonjour DeGeer,
Vous faîtes référence à la propriété :
Si [tex]d[/tex] divise [tex]m[/tex] et [tex]d[/tex] divise [tex]n[/tex] alors [tex]d[/tex]divise une combinaison linéaire de [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex]
Notamment [tex]d|(m+n)[/tex]
Ok mais vous partez d’où pour aboutir ou vis à vis de l'énoncé ? je ne comprends pas.
Selon l'énoncé on souhaite aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] n'ont que deux diviseurs communs : [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex]
Mais j'ai l'impression que vous partez de cette propriété pour démontrer la propriété (raisonnement circulaire).
#4 Entraide (collège-lycée) » Démonstration avec PGCD » 24-08-2026 07:13:23
- anthony_unac
- Réponses : 11
Bonjour,
Je bute sur cet exercice :
[tex](m+n)[/tex] est un nombre premier, montrer que [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premiers entre eux.
Je pars de l'information [tex](m+n)[/tex] est un nombre premier
Je cherche à aboutir à [tex]m[/tex] et [tex]n[/tex] sont premier entre eux
Autrement dit [tex]PGCD(m,n)=1[/tex] équivalent à [tex]m(u)+n(v)=1[/tex] avec [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] entiers relatifs d'après le th. de Bézout
Je suis parti sur l'idée qu'un nombre premier admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui même.
Autrement dit, [tex]1|(m+n)[/tex] et [tex](m+n)|(m+n)[/tex] et je bloque ici. Je ne vois pas ce que je peux faire après cela...
#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Amis et anniversaires » 11-08-2026 06:58:25
Bonjour,
#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Amis et anniversaires » 10-08-2026 19:46:53
Bonsoir,
Cela reviendrait t il a chercher le nombre maximal de façon d'exprimer un entier borné sous la forme d'une somme de deux entiers ?
Si on appel [tex]j[/tex] l'entier correspondant au jour de naissance et [tex]m[/tex] l'entier correspondant au mois de naissance alors on cherche à maximiser le nombre de façon d'exprimer [tex]j+m[/tex] en somme de deux entiers sachant que [tex]1<j+m<44[/tex]
#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 09-08-2026 13:42:17
Un mini défi arithmétique en lien avec la question...
Confirmer ou infirmer le fait que pour tout couple (p, q) de premiers, et tout n naturel ( précédemment n=38 , et pq=1441), lorsque l'équation précédente est soluble, la solution est unique ( à permutation près de a et c).
Bonjour,
Je ne parviens pas à résoudre votre défi Bridgeslam.
Pour rappel, le cas général est du type :
[tex](ac+n)^2-n(a+c)^2=(a^2-n)(c^2-n)=pq[/tex]
Les nombres [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] étant premiers alors
[tex](a^2-n)=\pm 1, ou \pm p, ou \pm q ,ou \pm {pq}[/tex] et
[tex](c^2-n)= \pm{pq}, ou \pm q, ou \pm p, ou \pm 1[/tex]
D'après le lemme d'Euclide :
Si [tex](a^2-n)(c^2-n)=pq[/tex] alors [tex]p|(a^2-n)[/tex] ou [tex]p|(c^2-n)[/tex]
Et c'est à peu près tout ce que je peux en dire.
Je rends les armes
Ah aussi, on peut raisonner sur la parité de [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex] sachant que [tex]p.q[/tex] est impair alors [tex](a^2-n)[/tex] est impair et [tex](c^2-n)[/tex] est impair
#8 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Deux entiers sont solutions » 08-08-2026 07:02:04
Bonjour,
Un petit coup de pouce pour débuter :
#9 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Deux entiers sont solutions » 07-08-2026 13:17:19
- anthony_unac
- Réponses : 2
Bonjour,
Déterminer à la main deux entiers naturels [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] solutions de l'équation :
[tex]a^2-b^2-19b=48[/tex]
PS: Le résultat importe peu ici, c'est plutôt le chemin qui vous y mène que vous devez expliquer.
#10 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Trouver n » 06-08-2026 06:18:28
Bonjour Bridgslam,
Votre résultat est correct mais vous n'avez pas explicité pas à pas (notamment la transformation du membre gauche de l'équation et l'identification finale avec le membre de droite).
#11 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Trouver n » 05-08-2026 15:00:18
- anthony_unac
- Réponses : 3
Bonjour,
Déterminer à la main (en explicitant pas à pas votre raisonnement) la valeur de l'entier naturel [tex]n[/tex] solution de l'équation :
[tex]\frac{n^6 - n^5 + n^2 - 1}{n^3 - 1} = 1211[/tex]
#12 Re : Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 22-07-2026 16:48:01
Bonjour à tous,
Merci pour vos contributions qui hélas ne parviennent pas à se défaire des incontournables étapes intermédiaires :
1/ Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par deux
2/ Le produit de trois nombres ------------------------------------
Je vais finir par croire qu'il est impossible de conclure sans ses étapes.
#13 Re : Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 21-07-2026 17:58:06
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.
Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.
#14 Entraide (collège-lycée) » Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n » 21-07-2026 17:39:33
- anthony_unac
- Réponses : 8
Bonjour,
Je bute sur cette démonstration par récurrence.
Plus précisément sur l'hérédité.
Supposons la propriété vraie au rang [tex]n[/tex] :
[tex]6 | (n^5-n)[/tex]
Montrons qu'elle est vraie au rang [tex]n+1[/tex] :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1)[/tex]
Les [tex]1[/tex] s'annulent et je cherche à retrouver du [tex](n^5-n)[/tex] dans l'expression, il vient :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n^4+10n^3+10n^2+5n[/tex]
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n(n^3+2n^2+2n+1)[/tex]
J'obtiens alors une somme de deux termes dont l'un est divisible par [tex]6[/tex] (hypothèse de récurrence) et l'autre est divisible par [tex]5[/tex] et je bloque à ce niveau là.
#15 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 08:03:27
L'équation a donc des solutions entières.
Bonjour, Verdurin,
L'équation possède effectivement des solutions entières (et pas une infinité) sinon l'exercice n'aurait pas été posé ainsi.
Une fois que vous êtes parvenu à ce constat, que faites vous ?
Comment allez vous chercher à la main ces solutions ?
En résolvant l'équation de Pell Fermat ?
#16 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 07:51:13
▼une solution
Bonjour jpp,
vous avez vu juste mais vous avez sauté des étapes dans votre factorisation du membre de gauche.
#17 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 18-07-2026 07:44:39
▼caché
Bonjour, Bridgslam, quelle est cette factorisation facile ;)
Concernant le cas général :
#18 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 19:32:48
#19 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 14:36:56
#20 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 12:43:45
j'ai trouvé
a2c2 - 38(a2 + c2) = 3
Après faut bricoler avec (a + c)2 ...? De tête je cale ! ... S et P ?
Bonjour,
J'ai hâte de voir si cette piste peut amener au résultat.
Si ça cale de tête, il va falloir se résoudre à sortir le papier/crayon ;)
Que signifie S et P ?
#21 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 10:29:19
Les nombres [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex] sont des entiers naturels et [tex]ac[/tex] correspond donc à la multiplication de ces deux nombres.
#22 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 17-07-2026 05:51:36
Bonjour Yoshi,
J'ignore ce qu'est une prequelle...
Concernant la décomposition de 1441 vous avez vu juste !
A présent, il faut entrer dans le dur avec la transformation du membre de gauche.
#23 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation diophantienne » 16-07-2026 16:57:53
Bonsoir,
Pages : 1