Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 Entraide (supérieur) » Intégrale de \(Ai^4(x)\) » 11-11-2025 20:38:14
- Maxime Jaccon
- Réponses : 1
Bonjour
Comment peut-on démontrer que $$\Omega = \int_0^{\infty} \text{Ai}^4(x) \, dx = \frac{\ln(3)}{24 \pi^2}$$
où \(\text{Ai}(x)\) est la fonction d’Airy?
En utilisant la représentation intégrale de Fourier de la fonction d’Airy, on obtient
\[ \Omega = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int_{\mathbb{R}^4} \exp\Bigg(i \sum_{j=1}^{4} \frac{t_j^3}{3}\Bigg)
\Bigg( \int_0^{\infty} \exp\Big(i x \sum_{j=1}^{4} t_j \Big) \, dx \Bigg) \, dt_1 dt_2 dt_3 dt_4\]
On peut utiliser le fait que
$$\int_0^{\infty} e^{i s x} \, dx = \pi \delta(s) + i \, \mathcal{P}\Big(\frac{1}{s}\Big)$$
Donc,
\begin{align*}
\Omega &= \frac{1}{(2 \pi)^4} \int_{\mathbb{R}^4} \exp\Big(i \sum_{j=1}^{4} \frac{t_j^3}{3}\Big)
\Big[ \pi \delta\Big(\sum t_j\Big) + i \, \mathcal{P}\Big(\frac{1}{\sum t_j}\Big) \Big] \, dt_1 dt_2 dt_3 dt_4 \\
&= \frac{1}{16 \pi^3} \int_{\mathbb{R}^3} \exp\Big(i \frac{1}{3} (k_1^3 + k_2^3 + k_3^3 + k_4^3) \Big) \, dk_1 dk_2 dk_3 \\
&= \frac{1}{16 \pi^3} \int_{\mathbb{R}^3} \exp\Big( - i (k_1+k_2)(k_2+k_3)(k_3+k_1) \Big) \, dk_1 dk_2 dk_3.
\end{align*}
J’ai du mal à vérifier numériquement la dernière intégrale: WolframAlpha refuse de la traiter et Mathematica (basic) plante. L’intégrale est très oscillatoire. La forme \(\ln(3)/(24 \pi^2)\) est si élégante, avec des constantes reconnaissables et le mystérieux 24, que cela me laisse penser qu’il doit y avoir une simplification simple (je l’espère…).
Cordialement.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Borne pour les intersections de courbes » 08-10-2025 02:36:41
Bonjour,
La réponse suivante a été donnée par Alex Karpy sur MathOverflow. Je me sens à la fois satisfait et un peu déçu : satisfait d’avoir enfin une réponse claire, mais déçu qu’avec le recul, le contre-exemple se soit avéré si simple à construire :) Désolé si la traduction est erronée. J'ai rédigé cette réponse en anglais et l'ai traduite dans Google.
Voici une construction visuelle du contre-exemple (attention, les courbes semblent presque identiques): https://www.desmos.com/calculator/gxzrqbwlgm
Ok, commençons...
Non. Il existe des courbes de Jordan lisses et strictement convexes $C_0,D_0 \subset \mathbb{R}^2$ telles que toute conique réelle rencontre chacune des courbes $C_0$ et $D_0$ en au plus $6$ points, tandis que $|C_0 \cap D_0| = 8$. Soit $$F_C(x, y) = y^2 - x^3 + x - a, \qquad 0< |a| < \frac{2}{3 \sqrt{3}}$$ et $C = \{F_C=0 \}$ son lieu réel.
$C$ est composé d'un ovale borné $C_0$ et d'une composante non bornée. La non-singularité résulte de la condition sur $a$. L'ovale a une courbure non nulle et est convexe.
Choisissez huit points distincts sur $C_0$ et notez-les $p_1, \cdots, p_8$. Soit $V$ l'espace vectoriel réel de dimension $10$ des polynômes cubiques affines dans $(x,y)$. Les conditions $G(p_i) = 0$ pour $i = 0, \cdots, 8$ imposent au plus huit contraintes linéaires indépendantes, donc $W := \{ G \in V : G(p_i) = 0 \forall i \}$ satisfait $\text{dim } W \geq 2$. Choisissez $G \in W$ non proportionnel à $F_C$ tel que $\nabla G(p_i)$ ne soit pas parallèle à $\nabla F_C(p_i)$ pour tout $i$. Un tel choix existe car ces conditions n'excluent qu'une union finie de droites dans $W$ de dimension supérieure ou égale à $2$. Considérons $F_\lambda = F_C + \lambda G$. L'ensemble des $\lambda \in \mathbb{R}$ pour lesquels $\{F_\lambda = 0\}$ est fini. Choisissez $\epsilon \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ suffisamment petit pour éviter ces valeurs et poser $$F_D = F_C + \epsilon G, \qquad D = \{F_D = 0\}$$ Alors $D$ est lisse et possède le même type topologique réel que $C$ (ovale borné). Chaque $p_i$ se trouve à la fois sur $F_C = 0$ et $F_D = 0$ puisque $G(p_i) = 0$. De plus, $$\nabla F_D(p_i) = \nabla F_C(p_i) + \epsilon \nabla G(p_i)$$ n'est pas parallèle à $\nabla F_C(p_i)$, donc les huit intersections au $p_i$ sont transverses. D'après le théorème de Bézouts, deux cubiques distinctes sans composante commune se rencontrent en $9$ points. Les huit intersections ovales transverses contribuent chacune à une multiplicité de $1$. Soit $Q$ une conique réelle quelconque (y compris les cas dégénérés). En passant aux clôtures projectives et en travaillant sur $\mathbb{C}$, le théorème de Bézouts donne $$\# (\bar{Q} \cap \bar{C}) = 2 \cdot 3 = 6$$ et un argument similaire pour $\#(\bar{Q} \cap \bar{D}) = 6$. La construction satisfait donc les conditions requises.
Donc...malheureusement...la borne est fausse, avec $8 > 6$ intersections.
Cordialement,
Maxime
#3 Re : Entraide (supérieur) » Équation différentielle ordinaire » 03-10-2025 00:15:31
Bonjour, un peu tard, mais...
\[
\begin{align}
&y''(t) + \frac{1}{1+t} y'(t) - cy(t) = 0\\
&y''(x) + \frac{1}{x} y'(x) - cy(x) = 0\\
&x^2 y''(x) + x y'(x) - cx^2y(x) = 0
\end{align}
\]
Où j'ai défini $x=1+t$ (et $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}$), puis multiplié par $x^2$. Considérons maintenant le cas où $c>0$. Définir $z = \sqrt{c} x$. Parce-que $\frac{d}{dz} = \sqrt{c} \frac{d}{dx}$ et $\frac{d^2}{dz^2} = c \frac{d^2}{dx^2}$. Donc,
\[
\begin{align}
&x^2 [c y''(z)] + x[\sqrt{c} y'(z)] - cx^2 y(z) = 0\\
&z^2 y''(z) + z y'(z) - z^2 y(z) = 0\\
\end{align}
\]
...l'équation de Bessel modifiée d'ordre 0! Alors, $z$ à $x$ à $t$ nous obtenons
$$y(t) = A I_0 (\sqrt{c} (t+1)) + B K_0(\sqrt{c}(t+1)), \quad c>0$$
$I_0, K_0$ sont les fonctions de Bessel modifiées d'ordre 0 de première et de deuxième espèce. Wolfram Alpha donne une expression équivalente $y(t) = k_0 J_0(i \sqrt{c}(t+1)) + k_2 Y_0(-i \sqrt{c}(t+1))$$.
Cordialement,
Maxime
#4 Entraide (supérieur) » Borne pour les intersections de courbes » 02-10-2025 17:55:34
- Maxime Jaccon
- Réponses : 6
Bonjour
J’ai déjà posé cette question récemment sur un site américain de mathématiques, sans réponse.
Soient $C, D \subset \mathbb{R}^2$ deux courbes de Jordan, c’est-à-dire les images d’applications continues injectives
$\gamma_C, \gamma_D : S^1 \to \mathbb{R}^2$ telles que
\[
\begin{aligned}
& (1) \quad |C \cap D| < \infty \quad \text{(au plus un nombre fini d’intersections)} \\[6pt]
& (2) \quad \text{Pour toute conique } E \subset \mathbb{R}^2, \ |E \cap C| \leq 6 \ \text{et} \ |E \cap D| \leq 6
\end{aligned}
\]
Montrer ou donner un contre-exemple au fait que $|C \cap D| \leq 6$
En utilisant le théorème de Jordan et en exploitant une contradiction avec la condition (2), j’ai montré que $C$ et $D$ doivent être convexes. Je peux vous donner plus de détails si besoin, mais je ne suis pas certain que cela va vraiment aider.
Cordialement.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt » 31-08-2025 09:18:31
Bonjour,
Merci pour votre réponse. Elle m'a beaucoup aidé. Mais comment justifieriez-vous l'heuristique ? De la somme à l'infinitésimal ?
Cordialement.
#6 Entraide (supérieur) » Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt » 29-08-2025 23:51:19
- Maxime Jaccon
- Réponses : 3
J'étudie le calcul stochastique d'Ito et j'entends sans cesse dire qu'un fait essentiel est que dB_t ^ 2 = dt pour le mouvement brownien. J'ai lu que la démonstration complète peut être un peu complexe, utilisant des limites de sommes et une variation quadratique, mais je me demande s'il existe une méthode intuitive pour comprendre pourquoi il se comporte comme dt.
Pages : 1