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Maxime Jaccon

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Borne pour les intersections de courbes

Bonjour

J’ai déjà posé cette question récemment sur un site américain de mathématiques, sans réponse.

Soient $C, D \subset \mathbb{R}^2$ deux courbes de Jordan, c’est-à-dire les images d’applications continues injectives 
$\gamma_C, \gamma_D : S^1 \to \mathbb{R}^2$ telles que 

\[
\begin{aligned}
& (1) \quad |C \cap D| < \infty \quad \text{(au plus un nombre fini d’intersections)} \\[6pt]
& (2) \quad \text{Pour toute conique } E \subset \mathbb{R}^2, \ |E \cap C| \leq 6 \ \text{et} \ |E \cap D| \leq 6
\end{aligned}
\]

Montrer ou donner un contre-exemple au fait que $|C \cap D| \leq 6$

En utilisant le théorème de Jordan et en exploitant une contradiction avec la condition (2), j’ai montré que $C$ et $D$ doivent être convexes. Je peux vous donner plus de détails si besoin, mais je ne suis pas certain que cela va vraiment aider.

Cordialement.

Maxime Jaccon

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Re : Borne pour les intersections de courbes

Bonjour,

La réponse suivante a été donnée par Alex Karpy sur MathOverflow. Je me sens à la fois satisfait et un peu déçu : satisfait d’avoir enfin une réponse claire, mais déçu qu’avec le recul, le contre-exemple se soit avéré si simple à construire :) Désolé si la traduction est erronée. J'ai rédigé cette réponse en anglais et l'ai traduite dans Google.

Voici une construction visuelle du contre-exemple (attention, les courbes semblent presque identiques): https://www.desmos.com/calculator/gxzrqbwlgm

Ok, commençons...
Non. Il existe des courbes de Jordan lisses et strictement convexes $C_0,D_0 \subset \mathbb{R}^2$ telles que toute conique réelle rencontre chacune des courbes $C_0$ et $D_0$ en au plus $6$ points, tandis que $|C_0 \cap D_0| = 8$. Soit $$F_C(x, y) = y^2 - x^3 + x - a, \qquad 0< |a| < \frac{2}{3 \sqrt{3}}$$ et $C = \{F_C=0 \}$ son lieu réel.

$C$ est composé d'un ovale borné $C_0$ et d'une composante non bornée. La non-singularité résulte de la condition sur $a$. L'ovale a une courbure non nulle et est convexe. 

Choisissez huit points distincts sur $C_0$ et notez-les $p_1, \cdots, p_8$. Soit $V$ l'espace vectoriel réel de dimension $10$ des polynômes cubiques affines dans $(x,y)$. Les conditions $G(p_i) = 0$ pour $i = 0, \cdots, 8$ imposent au plus huit contraintes linéaires indépendantes, donc $W := \{ G \in V : G(p_i) = 0 \forall i \}$ satisfait $\text{dim } W \geq 2$. Choisissez $G \in W$ non proportionnel à $F_C$ tel que $\nabla G(p_i)$ ne soit pas parallèle à $\nabla F_C(p_i)$ pour tout $i$. Un tel choix existe car ces conditions n'excluent qu'une union finie de droites dans $W$ de dimension supérieure ou égale à $2$. Considérons $F_\lambda = F_C + \lambda G$. L'ensemble des $\lambda \in \mathbb{R}$ pour lesquels $\{F_\lambda = 0\}$ est fini. Choisissez $\epsilon \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ suffisamment petit pour éviter ces valeurs et poser $$F_D = F_C + \epsilon G, \qquad D = \{F_D = 0\}$$ Alors $D$ est lisse et possède le même type topologique réel que $C$ (ovale borné). Chaque $p_i$ se trouve à la fois sur $F_C = 0$ et $F_D = 0$ puisque $G(p_i) = 0$. De plus, $$\nabla F_D(p_i) = \nabla F_C(p_i) + \epsilon \nabla G(p_i)$$ n'est pas parallèle à $\nabla F_C(p_i)$, donc les huit intersections au $p_i$ sont transverses. D'après le théorème de Bézouts, deux cubiques distinctes sans composante commune se rencontrent en $9$ points. Les huit intersections ovales transverses contribuent chacune à une multiplicité de $1$. Soit $Q$ une conique réelle quelconque (y compris les cas dégénérés). En passant aux clôtures projectives et en travaillant sur $\mathbb{C}$, le théorème de Bézouts donne $$\# (\bar{Q} \cap \bar{C}) = 2 \cdot 3 = 6$$ et un argument similaire pour $\#(\bar{Q} \cap \bar{D}) = 6$. La construction satisfait donc les conditions requises.

Donc...malheureusement...la borne est fausse, avec $8 > 6$ intersections.

Cordialement,
Maxime

bib99

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Re : Borne pour les intersections de courbes

Bonjour,

Est ce que cette question ne relève pas de la théorie de l'intersection qu'on rencontre en post-doctorat ?

Cordialement.

Michel Coste

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Re : Borne pour les intersections de courbes

Bonsoir,
C'est essentiellement Bézout, et donc plutôt M1 ou M2 que "post-doctorat".

bib99

Invité

Re : Borne pour les intersections de courbes

Pardon, je voulais dire, géométrie énumérative au lieu de théorie de l'intersection. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om … 3%A9rative

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Borne pour les intersections de courbes

Je dirais plutôt qu'elle relève de la géométrie algébrique de base.