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samo12

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Équation différentielle ordinaire

Bonjour,

j'aimerais bien avoir une idée sur résolution de cette EDO de second ordre à coefficients variables: [tex]y"(t)+\frac{1}{1+t}y'(t)-cy(t)=0; t>0[/tex]. Merci d'avance.

Dernière modification par samo12 (06-12-2023 00:13:47)

Maxime Jaccon

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Re : Équation différentielle ordinaire

Bonjour, un peu tard, mais...

\[
\begin{align}
&y''(t) + \frac{1}{1+t} y'(t) - cy(t) = 0\\
&y''(x) + \frac{1}{x} y'(x) - cy(x) = 0\\
&x^2 y''(x) + x y'(x) - cx^2y(x) = 0
\end{align}
\]

Où j'ai défini $x=1+t$ (et $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}$), puis multiplié par $x^2$. Considérons maintenant le cas où $c>0$. Définir $z = \sqrt{c} x$. Parce-que $\frac{d}{dz} = \sqrt{c} \frac{d}{dx}$ et $\frac{d^2}{dz^2} = c \frac{d^2}{dx^2}$. Donc,

\[
\begin{align}
&x^2 [c y''(z)] + x[\sqrt{c} y'(z)] - cx^2 y(z) = 0\\
&z^2 y''(z) + z y'(z) - z^2 y(z) = 0\\
\end{align}
\]

...l'équation de Bessel modifiée d'ordre 0! Alors, $z$ à $x$ à $t$ nous obtenons
$$y(t) = A I_0 (\sqrt{c} (t+1)) + B K_0(\sqrt{c}(t+1)), \quad c>0$$

$I_0, K_0$ sont les fonctions de Bessel modifiées d'ordre 0 de première et de deuxième espèce. Wolfram Alpha donne une expression équivalente $y(t) = k_0 J_0(i \sqrt{c}(t+1)) + k_2 Y_0(-i \sqrt{c}(t+1))$$.

Cordialement,
Maxime

Dernière modification par Maxime Jaccon (03-10-2025 20:21:10)