Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonction $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ strictement croissantes qui vérifient $f(2^n) = 2^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
L'analyse-synthèse, c'est justement les questions intermédiaires dans l'énoncé, et à aucun moment il n'est précisé que la fonction $f$ n'est définie que sur $\mathbb{N}^*$.
Tu peux facilement trouver l'image des puissances de $2$ qui sont demandées, et en déduire les autres images en utilisant la stricte croissance de la fonction.
Les autres questions se traitent en utilisant la croissance stricte de $f$.

Bonjour
Je ne connais pas ce résultat, mais tu peux peut-être utiliser le fait que tout Hilbert sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ est isométrique à $\ell^2(L,\mathbb{K})$ où le cardinal de $L$ est celui d'une famille orthonormée maximale.

Bonjour
Ta question aurait plus sa place dans le forum entraide supérieur.
Qu'as-tu tenté pour résoudre cet exercice?

Bonsoir.
La relation vide sur un ensemble non vide est symétrique et transitive (car elles sont de la forme A => B, où A est de la forme $x \in \emptyset$, donc fausse) et non réflexive car comme l'ensemble est non vide, il contient un élément qui n'est pas en relation avec lui-même.
De manière générale, si tu pars d'un ensemble muni d'une relation symétrique et transitive (par exemple une relation d'équivalence), que tu lui ajoutes un élément et que tu prolonges la relation de manière à ce que le nouvel élément n'est en relation avec aucun élément, alors la nouvelle relation sera symétrique transitive non réflexive.

Bonjour
Même s'il n'y a qu'une seule épreuve théorique au CAPES (l'écrit 1), cela ne signifie nullement que les connaissances théoriques ne sont pas évaluées ou sont inutiles pour les autres épreuves (à l'exception de celle d'entretien). Par ailleurs, les différents rapports du jury montrent que ce sont les épreuves les plus théoriques (écrit 1, oral 1) qui sont le plus discriminantes, la plupart des candidats obtenant dans les autres épreuves des résultats supérieurs à la barre d'admission. C'est pourquoi je conseillerais à un candidat qui n'a pas suivi le cursus classique pour être prof de maths (à savoir, licence de maths ou prépa maths + école) d'insister vraiment sur la mise à niveau sur le plan théorique. Ce n'est pas du temps de perdu, même pour l'écrit 2 et l'oral 1.
Concernant le niveau théorique, il faut maîtriser complètement les programmes du secondaire, et être à l'aise sur celui de première année d'études supérieures.

Bonsoir
Le livre en gras, tu peux oublier, c'est un livre de prépa beaucoup trop difficile (et l'auteur est Xavier Gourdon, pas Goudron).

Je ne sais pas s'il est pertinent de prendre de l'avance sur le programme si les bases ne sont pas parfaitement maîtrisées. Je pense qu'il vaut mieux revoir en profondeur le calcul littéral, les fonctions, et éventuellement les vecteurs, en faisant des exercices d'entraînement sur ces notions.

Bonjour
On peut définir des ensembles par compréhension : c'est-à-dire l'ensemble des ensembles qui vérifient telle propriété (en théorie des ensembles, tous les objets sur lesquels on travaille sont des ensembles, de plus la propriété doit être écrite ou en tous cas pouvoir être écrite en langage mathématique).
Sauf que cette méthode conduit à des paradoxes. On pourrait notamment définir l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes : si cet ensemble appartient à lui-même alors il n'appartient pas à lui-même; s'il appartient à lui-même alors il n'appartient pas à lui-même.
Il faut donc adopter une méthode plus restrictive, appelée schéma d'axiomes de compréhension : si $E$ est un ensemble et $P$ une propriété mathématique, on peut définir l'ensemble des $x$ tels que $x \in E$ et $P(x)$. Autrement dit, on définit un ensemble par compréhension uniquement à partir d'un ensemble plus grand déjà donné. On évite alors les paradoxes comme celui dont j'ai parlé dans mon paragraphe précédent.

Bonjour
Tout d'abord, il vaut mieux dire que $(f_n)_n$ est une suite définie par $f_n(x) = (\dfrac{n}{2}x+\dfrac{1}{2})\chi_{[-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}]}(x)$ où $\chi$ désigne la fonction indicatrice d'un ensemble, plutôt qu'avoir un ensemble de définition différent pour chaque fonction.
Tu peux déjà regarder si la suite de fonctions converge simplement vers une certaine fonction, puis regarder s'il y a ou pas convergence uniforme.

Bonjour
La subdivision quelconque d'un angle n'est pas possible en général à la règle et au compas. Par exemple, le théorème de Wantzel permet de prouver que la trisection de l'angle à la règle et au compas n'est pas possible en général.

Bonsoir
J'essaye de répondre à ton message initial :

La meilleure manière de s'en convaincre est de trouver un contre-exemple. Par exemple, la fonction $f$ qui à un point autre que $(0,0)$, de coordonnées polaires $(r,\theta )$ avec $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ et $\theta \in ]0,2\pi]$ associe $\dfrac{r}{\theta}$.
Si on fixe $\theta$ et qu'on prend une suite $(x_n)$ de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées polaires $(r_n,\theta)$ où $r_n$ tend vers $0$, alors $f(x_n)$ tend vers $0$. Ainsi, la fonction $f$ admet pour limite $0$ en $(0,0)$ suivant toutes les directions.
Si maintenant on considère la suite $(x_n)$ de coordonnées polaires $(r_n,r_n)$ avec $r_n \in ]0,2\pi]$ tend vers $0$, alors $f(x_n)=1$ pour tout $n$ donc ne tend pas vers $0$.

Bonjour
Au voisinage de $0$, un monôme est négligeable devant un monôme de degré inférieur. Par exemple, au voisinage de $0$ $x^2$ est négligeable devant $x$. Ainsi, dans le développement limité, les termes de degré supérieurs seront négligeables devant le premier monôme.