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iris400

Invité

Petit problème de probabilités

Bonjour à tous .
J'ai soumis un petit problème de probabilités à l'IA , laquelle m'a donné une réponse qui ne m'a pas satisfait. Elle m'a d'ailleurs précisé que l'une des données ( contrainte) était "inhabituelle" .
Permettez moi de vous le soumettre également .

Soit un dé à six faces : 4 faces gagné
                                     2 faces perdu
Soit N le nombre de lancers considéré ,
        G le nombre de lancers  gagné
         p le nombre de lancers  perdu
Je cherche s'il existe une formule permettant de calculer la probabilité pour que :
-p atteigne une valeur donnée
-que l'on n'ait jamais  eu  G > ( p+2 ) /2  durant toute la suite des lancers .

Exemple : on obtient p=20 une fois tous les  N lancers (en moyenne ).

Merci d'avance .

Black Jack

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Re : Petit problème de probabilités

Bonjour,

On peut le faire par un programme informatique. (fait en Python)

Juste pour info, je donne les résultats pour p = 3 , 10 et 20.

Pour p =  3, Proba exacte = 0.1604938272 (soit 1.60e-01)
Pour p = 10, Proba exacte = 0.0045800701 (soit 4.58e-03)
Pour p = 20, Proba exacte = 0.0000651406 (soit 6.51e-05)

Mais ce n'est probablement pas la méthode que tu voudrais utiliser.

DeGeer

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Re : Petit problème de probabilités

Bonsoir
$p$ suit une loi binomiale de paramètres $N$ et $\frac{1}{3}$, et $G=N-p$

Black Jack

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Re : Petit problème de probabilités

Bonsoir
$p$ suit une loi binomiale de paramètres $N$ et $\frac{1}{3}$, et $G=N-p$

Bonjour,

Ta réponse est incomplète et ne permet pas de répondre à la question posée.

La partie de l'énoncé  qui dit "ne jamais avoir g > (p+2)/2  durant toute la suite" est beaucoup plus complexe à prendre en compte.

Black Jack

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Re : Petit problème de probabilités

Rebonjour,

En complément, je donne les séquences, pour p = 3, qui aboutissent à avoir 3 parties perdues sans jamais avoir eu g > (p+2)/2

liste exhaustive :

PPP  proba 1/27
GPPP proba 2/81
PGPP proba 2/81
PPGP proba 2/81
GPPGP proba 4/243
PGPGP proba 4/243
PPGGP proba 4/243
***********
Proba totale = somme des proba ci/dessus = 39/243  (soit 0.1604938272...)

Une telle liste est facile à faire "à la main" pour p petit. 
Cela devient bonbon dès que p augmente ... sauf à l'aide de l'informatique ou bien être pro dans les listes de Markov, mais ce n'est pas mon cas.

DeGeer

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Re : Petit problème de probabilités

@Black Jack : je ne crois pas avoir laissé supposer que j'avais répondu de manière complète. Je répondais à la première question. Pour la deuxième, j'aimerais bien avoir le code Python que tu évoquais dans ton premier message.
D'un point de vue théorique, j'avais pensé à l'étude d'une marche aléatoire déséquilibrée sur $\mathbb{Z}$.

Black Jack

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Re : Petit problème de probabilités

Bonsoir
$p$ suit une loi binomiale de paramètres $N$ et $\frac{1}{3}$, et $G=N-p$

Bonjour,

Je pense qu'on n'a pas la même interprétation de l'énoncé.

J'avais compris que : il fallait les 2 contraintes en simultané, soit :

Que on veut la proba que l'on atteigne p parties perdues (avec p quelconque mais donné) sans que, au cours de la série de parties jouées on n'ai jamais eu G > (p+2)/2

C'est à cela que j'ai répondu.

Etait-ce la question dans l'esprit de iris400 ?,
C'est à lui de le préciser.

DeGeer

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Re : Petit problème de probabilités

Bonjour
C'est effectivement toujours le problème en probabilités, dès lors qu'on se place dans une situation (pseudo-)concrète : il y a toujours une part de modélisation qui n'est pas mathématique mais relève du langage.

bridgslam

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Re : Petit problème de probabilités

Bonjour,

Cela me rappelle certaines probabilités sur des questions de scrutin, où notamment une inégalité doit être respectée au fil des tirages.
Des analogies graphiques, avec en particulier le principe de réflexion à la rescousse, permettent normalement de s'en sortir.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Petit problème de probabilités

Bonjour,
Le principe de réflexion ne me paraît pas facile à utiliser pour répondre à la question. J'attends que bridgslam montre comment il l'utilise.
Un petit programme en SageMath (pratiquement du python).

def U(p) :
    u = [0,2/9,0,1/3]
    for _ in range(p-1) :
        u = augmente(u)
    return u

def augmente(u) :
    l = len(u)
    v = (l+1)*[0]
    for k in range(l,0,-2) :
        v[k] = 1/3 * sum( (2/3)**n * u[k-1+2*n] for n in range((l+2-k)//2) )
    return v

def resultat(p) :
    u = U(p) ; s = sum(u) ; sfl = s.n()
    tm = (sum( u[k] * (3*p-k+2) / 2 for k in range(len(u))) / s).n()
    print("La probabilité d'arriver à p={} en ayant tout au long g<=(p+2)/2 est\n\
{}\n\
soit environ {:10.3e}.".format(p,s,sfl))
    print("Le nombre moyen de lancers pour y arriver est {:.2f}.".format(tm))

La sortie pour p=20 confirme le calcul de Black Jack :

La probabilité d'arriver à p=20 en ayant tout au long g<=(p+2)/2 est
4470620543/68630377364883
soit environ   6.514e-5.
Le nombre moyen de lancers pour y arriver est 28.60.

Et, pour frimer, p=100 (ça va vite) :

La probabilité d'arriver à p=100 en ayant tout au long g<=(p+2)/2 est
842392573455966366683842717380446979318478015050157343/123329495011708990974900260817232214728824366796574324605061468433916083
soit environ  6.830e-18.
Le nombre moyen de lancers pour y arriver est 148.17.
CPU times: user 226 ms, sys: 0 ns, total: 226 ms
Wall time: 224 ms

Dernière modification par Michel Coste (04-05-2026 15:39:54)