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Bonsoir
Merci infiniment Cailloux pour l'explication

Bonjour,
OK grand merci à vous deux Glozi et Michel Coste
Bonne soirée

Oui n doit être un multiple de a n'est ce pas ?
Bonne soirée

Bonsoir
Non c'etait pour Glozi, en ce qui concerne votre piste je dirai puisque y a une infinité de repunits et un nombre fini de restes dans la division par a donc d'après le principe des tiroirs y a forcément R_r et R_r' distincts tq : [tex]R_r\equiv R_{r'}[a]\Leftrightarrow R_r-R_{r'}\equiv 0[a]\Leftrightarrow 10^{r'}R_{r-r'}\equiv 0[a][/tex]
Et comme 10 et a sont premiers entre eux on aura donc [tex]R_{r-r'}\equiv 0[a][/tex]
Voila, est-ce correct ?

Bonsoir michel, oui je crois que c'est une très jolie piste merci beaucoup, je vais essayer de montrer l'existence de ces 2 repunits, après ça ne sera pas difficile de continuer je crois
Merci

Bonjour,
Est-ce correct comme preuve et rédaction?

[tex]\text{ Soit l'ensemble }\left\{x;x^2;x^3;...x^n;... \right\}\text{ avec infinité d'éléments,
il est clair qu'il est inclus dans }\left( Z/aZ\right)[/tex]
[tex] \text{ Puisque }\left(Z/aZ \right)^{\times} \text{ est fini }\Rightarrow \text{ il existe au moins }x^k\text{ et }x^l\left( \text{ avec  }k>l\right)\text{ tel que leurs reversibles sont égaux }[/tex]
  [tex]\Rightarrow \bar{x^k}=\bar{x^l}\Rightarrow x^k\equiv x^l[a]\Rightarrow x^k-x^l\equiv 0[a]\Rightarrow x^l\left( x^{k-l}-1\right)\equiv 0[a][/tex]   
[tex] \text{ Puisque }x^l\in \left(Z/aZ \right)^{\times}\Rightarrow x\wedge a=1\Rightarrow x^{k-l}-1\equiv 0[a]\Rightarrow x^{k-l}\equiv 1[a][/tex]
[tex] \text{ Donc il suffit de prendre  }r=k-l[/tex]
Merci

Bonjour, voici mon essai pour l'exercice

1-a/ [tex]\bar{n}[/tex] est inversible [tex]\Rightarrow \exists y\in Z/aZ ; \bar{n}y=1\Rightarrow \left(ak+n \right)y=1\Rightarrow \left(ky \right)a+\left(y \right)n=1\Rightarrow a\wedge n=1[/tex]
  -b/ [tex]a\wedge n=1\Rightarrow \exists \left( k,k'\right)\in Z^2 ; ak+nk'=1\Rightarrow nk'=1-ak\Rightarrow nk'\equiv 1[a]\Rightarrow \bar{n}\bar{k'}=\bar{1}\Rightarrow \bar{n}[/tex] est inversible
2-a/  [tex]x,y\in Z/aZ[/tex] sont inversibles [tex]\Rightarrow \begin{cases}
& \exists\text{ x' } \in Z/aZ; xx'=1  \\
& \exists\text{ y' } \in Z/aZ; yy'=1
\end{cases}\Rightarrow xy\left( x'y'\right)=1\Rightarrow xy[/tex] est inversible
-b/ *  [tex]\text{Soit } \bar{x},\bar{y},\bar{z}\in \left( Z/aZ\right) ;\text{on a }\bar{x}\left( \bar{y}\bar{z}\right)=\bar{x}\bar{y}\bar{z}=\left( \bar{x}\bar{y}\right)\bar{z}\Rightarrow \times \text{est associative sur}\left( Z/aZ\right)^{\times}[/tex]
     *  [tex]\forall \bar{x}\in \left( Z/aZ\right);\bar{1}\times \bar{x}=\bar{x}\times \bar{1}=\bar{x}\Rightarrow \bar{1}\text{ est l'élément neutre de}\left( Z/aZ\right)^{\times}[/tex]
    * je n'ai pas pu exprimer l'inverse
3/ une indication svp ? bien que je la trouve évidente puisque c'est répétitif et merci infiniment

Bonjour
Je crois que si r=20 on a bien R_r [tex]\equiv [/tex]1[21] puisque R_r-1 [tex]\equiv [/tex]0[3] et R_r-1 [tex]\equiv [/tex]0[7]
pour ce qui est du groupe (Z/aZ) je ne vois pas comment faire, je n'ai pas beaucoup de connaissances sur ce chapitre
Excellente journée

Bonsoir et merci pour votre aide
Oui pgcd(10,a)=1 sinon le reste de division de R_n par a serait égale à 1
Ok j'essaye de continuer ; 10^r≡1[a] donc 10^r-1≡0[a] donc (10^r-1)/9≡0[a] (puisque 10^r-1≡0[9]) d'où R_n≡0[a]. C'est correct ?

Merci Glozi pour la correction je ne me suis pas rendu compte mais là après vérification c'est vrai que la limite ne tend pas vers 0. Donc erreur dans l'énoncé ! et moi j'ai directement voulu essayer d'appliquer les critères des séries alternées alors que j'aurai du vérifier d'abord la condition nécessaire de convergence si elle est vérifiée
Merci infiniment