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Jiaz

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Transformation ponctuelle

Bonjour,
Je voudrai savoir combien de similitude (direct et indirect) peut-on définir si on a deux cercle (de centres et rayons différents)? C'est à dire pour que l'un de ces cercles soit l'image de l'autre par cette similitude et en écartant les similitudes dont l'angles est multiples de π. Et comment déterminer leurs centre?
Même questions pour les polygones semblables
Merci d'avance

cailloux

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Re : Transformation ponctuelle

Bonjour à tous,
Un ancien message resté sans réponse : à mon sens, il en mérite une quitte à ce qu'elle soit incomplète.
Les cercles de centres $O$ et $O'$, de rayons $r$ et $r'$ différents (pour éviter les isométries) sont donnés.
Les similitudes (directes ou indirectes) qui envoient le cercle $(O)$ sur le cercle $(O')$ ont pour rapport de similitude (positif) $k=\dfrac{r'}{r}$ avec $k\not=1$

Soit $\Omega$ son centre pour une similitude directe ou son unique point fixe pour une similitude indirecte :

  $k=\dfrac{\Omega O'}{\Omega O}=\dfrac{r'}{r}$

Le lieu de $\Omega$ est un cercle d'Apollonius relatif aux points $O$ et $O'$ et de rapport $k$.
C'est le cercle de diamètre $[IJ]$ où $I$ et $J$ sont les centres d'homothétie des deux cercles donnés (points de concours des tangentes communes non tracées sur la figure).
C'est aussi le lieu des points desquels on voit les deux cercles sous le même angle. (Sur la figure, les deux cercles donnés sont non sécants et les tangentes issues de $\Omega$ existent toujours). 

Dans le cas direct, la similitude est le produit commutatif d'une homothétie de rapport $k$ et d'une rotation de même centre $\Omega$ et d'angle $\alpha=(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega O'})\,\,[2\pi]$
Dans le cas indirect, la similitude peut être décomposée en le produit commutatif :
  - d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ et d'une symétrie axiale d'axe $\delta$ (son axe principal).
  - d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $-k$ et d'une symétrie axiale d'axe $\delta'$ (son axe secondaire).

A une certaine époque, tout ceci était classique, et figurait en bonne place dans un cours de géométrie au lycée. On peut par exemple consulter le célèbre (?)  Lebossé & Hémery de Mathélem.

Dernière modification par cailloux (25-10-2023 15:47:25)

jelobreuil

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Re : Transformation ponctuelle

Bonjour Cailloux,
Et merci pour cet excellent résumé de la question !
Et l'époque où tout cela faisait partie de la culture géométrique de base du taupin moyen n'est pas si lointaine ...
Bien cordialement, JLB

Jiaz

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Re : Transformation ponctuelle

Bonsoir
Merci infiniment Cailloux pour l'explication

cailloux

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Re : Transformation ponctuelle

Bonjour à tous,
Et merci à toi Jiaz d'être repassé par là.
Les cas particuliers sont toujours instructifs. Tu peux t'intéresser à celui-ci :
Lorsque les deux cercles sont sécants, le cercle d'Apollonius (aussi appelé ici cercle de similitude) passe par les deux points d'intersection.
Soit $s$ la similitude directe de centre un des deux points d'intersection qui envoie $(O)$ sur $(O')$.
$M\in(O)$ et $s(M)\in(O')$. La droite $(Ms(M))$ passe par l'autre point d'intersection.

Pour les polygones, il y a une condition préalable : il faut qu'ils soient semblables (directement ou indirectement).
Toujours les cas particuliers : deux carrés de côtés différents en position générale par exemple.
Mais auparavant il faut dominer les "constructions" de base:
Soit $A,B,A'$ et $B'$ des points du plan tels que $A\not=B$ et $A'\not=B'$.
-Il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.
-Il existe une unique similitude indirecte transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.
Dans les cas où $AB\not=A'B'$, "construire" :

  1) Dans le cas direct, son centre.
  2) Dans le cas indirect, son unique point fixe et ses axes.

Le verbe "construire" a évolué : à une certaine époque : règle et compas. Aujourd'hui, les logiciels de géométrie dynamique permettent d'utiliser par exemple ici le rapport de similitude $k=\dfrac{A'B'}{AB}$.
Le cas direct était très connu. Les similitudes indirectes étaient mal aimées. Mais ce sont elles qui donnent les figures les plus riches.
Comme déjà dit, le diable et son compère au paradis se cachent souvent dans les cas particuliers :
Supposons $(AB)//(A'B')$ avec $AB\not=A'B'$. La similitude directe qui envoie $A$ sur $A'$ et $B$ sur $B'$ est l'homothétie de rapport $\pm\dfrac{A'B'}{AB}$ selon le cas de figure et de centre $\Omega_+$ intersection des droites $(AA')$ et $(BB')$.

Pour la similitude indirecte, qu'en est-il de son unique point fixe et de son axe principal ?
J'en ai suffisamment dit. Sans réactions je laisserai enfin ce sujet tranquille.

Dernière modification par cailloux (27-10-2023 04:05:11)