Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Avant toute chose, je tiens à vous remercier par avance pour les réponses ou éléments de réponse qui seront proposées étant donné que ça prend sur du temps personnel, je m'excuse pour cette gêne et cette perte de temps.
Je suis actuellement en master de sciences économiques et une redoutable question (à mon sens en tout cas) est venue se poser : Celle de l'optimisation d'intégrales. Dans mon cours j'ai les définitions suivantes :
"Soit [tex] f(t) [/tex] une fonction, et [tex]g(t)=\int_{0}^{T}{u(f(t))}dt [/tex], avec [tex] u(\bullet)[/tex] une fonction différentiable, quasi-concave représentant l'utilité de l'agent économique pour le bien f(t), qui représente l'épargne. Soit [tex] f'(t)=w(t)+r\times f(t) - c(t) [/tex] sa dérivée avec les conditions [tex] f(0)=f_0\geq0, f(T)=f_T\geq0 [/tex]. Le problème de l'agent est de maximiser [tex]g(t)[/tex] sous la contrainte de la dérivée et de ses conditions. Pour cela on pose l'hamiltonien [...] et on se sert du principe du maximum de Pontryagin."

Je pense que j'ai plutôt compris la résolution de l'hamiltonien dans le cadre d'une telle fonction avec les variables d'état et les co-variables d'état etc...seulement voilà, on nous demande de préparer pour le prochain TD l'exercice suivant :
"Soit [tex] c(t) [/tex] la consommation instantanée par unité de temps, [tex]u(c(t))[/tex] l'utilité de la consommation par unité de temps, supposée continue, deux fois dérivable et quasi-concave, [tex]T[/tex] l'horizon temporel de l'agent (i.e. sa date de décès), [tex]e^{-\theta\times t} [/tex] le facteur d'escompte, avec [tex]\theta \in [0;1] [/tex] le taux d'escompte supposé constant dans le temps. L'agent économique souhaite léguer aux générations suivante un montant qui alimente leur utilité, ce qui se traduit par la fonction d'utilité [tex] h(c(t)) [/tex] où [tex] h(c(t)) [/tex] traduit l'utilité liée à la consommation de la génération [tex] t [/tex] induite par l'héritage légué. Appelons "père" l'individu dont l'utilité est définie par la relation suivante : [tex] V(c(t))=\int_{0}^{T}{e^{-\theta t} U(c(t)}dt+\int_{0}^{+\infty}{e^{-\psi t} h(c(t))}dt[/tex], avec [tex] \theta \in [0;1], \psi \in [0;1] [/tex] respectivement, le taux d'escompte supposé constant dans le temps, et le taux d'égoïsme intergénérationnel, supposé constant dans le temps. Le père souhaite maximiser son utilité sous la contrainte de l'épargne qui est donnée par la relation suivante : [tex] p'(t)=w(t)+rp(t)-c(t)[/tex] avec [tex] p(0)=h_0 [/tex] le montant que le père a hérité de son propre père, et [tex]p(T)=h_T [/tex] le montant que le père souhaite léguer aux générations suivantes.

I. Questions préliminaires
1) a) Que traduit la fonction d'utilité du père ?
La fonction d'utilité du père traduit l'idée qu'il s'intéresse à sa consommation à chaque période jusqu'à sa mort (intégrale de l'âge 0 à l'âge de mort de son utilité de consommation) et également à l'utilité des générations suivantes (intégrale à horizon infini de l'utilité perçue par la consommation liée à l'héritage). Toutefois, il préfère toujours le présent au futur (pondération par un taux d'escompte négatif [tex] -\theta [/tex] et aime les générations suivantes toujours moins que lui-même (pondération par le taux d'égoïsme intergénérationnel [tex] -\psi [/tex]).

b) Ecrire l'hamiltonien du programme d'optimisation suivant :[tex]\begin{cases}
& \text{max}_{c(t)} V(c(t))=\int_{0}^{T}{e^{-\theta t} U(c(t)}dt+\int_{0}^{+\infty}{e^{-\psi t} h(c(t))}dt   \\
&  \text{sous contrainte : } p'(t)=w(t)+rp(t)-c(t) \\
& p(0)=h_0\geq 0 \\
&  p(T)=h_T \geq 0
\end{cases} [/tex]"
Ma question est la suivante : Le hamiltonien du programme s'écrit-il de la façon suivante : [tex]H=e^{-\theta t} U(c(t)+e^{-\psi t} h(c(t))+\lambda(t)\times[w(t)+rp(t)-c(t)] [/tex] j'ai essayé d'appliquer le théorème que nous avons vu dans le cours et le maximum de Pontryagin, mais mes résultats me semblent complètement hors sol par rapport à ceux du cours. Je pense m'être complètement trompé, et qu'il faille réaliser une opération pour rassembler les deux fonctions dans une seule intégrale pour pouvoir appliquer le principe du maximum et donc obtenir le bon résultat, mais je ne sais pas par où commencer, j'ai tenté quelques bidoullages avec la relation de Chasles en changeant les bornes, mais encore une fois je me trompais car cela amenait à changer les horizons temporels etc...Si quelqu'un a une idée ou une piste pour m'orienter je suis preneur !
Merci d'avance, bonne journée !

Bonjour à vous,

Je me permets de poster ce message ici car je n'ai pas réussi à trouver de réponse claire et précise à ma question aussi bien dans mes cours que sur internet. N'étant qu'en deuxième année de prépa économique, je n'ai pas forcément un très gros niveau en maths. Lors d'un DM, l'exercice nous mène à trouver le résultat suivant :
On sait que pour tout [tex] x \in \mathbb R \;f'(x)>0, f''(x)<0 [/tex].
Donc on a nécessairement [tex] f'(x) > f''(x)[/tex].
Et je dois répondre à la question "d. Que pouvez-vous en conclure quant à la convexité de f'(x) ? [...]".

J'aimerai conclure en disant que f' est convexe car elle est nécessairement au dessus de toutes sa dérivée, mais il me semble que j'essaie d'appliquer une analogie qui m'apparaît un peu barbare de la proposition :
"f est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au dessus de toutes ses tangentes".

Je ne sais malheureusement pas si cette proposition est équivalente à dire que "f est convexe si et seulement si f(x)>f'(x)" car cela signifierait en soi que f(x) est au dessus de sa dérivée et donc de ses tangentes non ?

Et j'ai besoin de ce résultat pour conclure la deuxième partie de la question "d. [...] Quel est le sens de variation de la dérivée seconde ?"

Merci d'avance pour les réponses,
Bonne journée ou soirée !