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Grocayou

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Exercice sur les dérivées

Bonjour à vous,

Je me permets de poster ce message ici car je n'ai pas réussi à trouver de réponse claire et précise à ma question aussi bien dans mes cours que sur internet. N'étant qu'en deuxième année de prépa économique, je n'ai pas forcément un très gros niveau en maths. Lors d'un DM, l'exercice nous mène à trouver le résultat suivant :
On sait que pour tout [tex] x \in \mathbb R \;f'(x)>0, f''(x)<0 [/tex].
Donc on a nécessairement [tex] f'(x) > f''(x)[/tex].
Et je dois répondre à la question "d. Que pouvez-vous en conclure quant à la convexité de f'(x) ? [...]".

J'aimerai conclure en disant que f' est convexe car elle est nécessairement au dessus de toutes sa dérivée, mais il me semble que j'essaie d'appliquer une analogie qui m'apparaît un peu barbare de la proposition :
"f est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au dessus de toutes ses tangentes".

Je ne sais malheureusement pas si cette proposition est équivalente à dire que "f est convexe si et seulement si f(x)>f'(x)" car cela signifierait en soi que f(x) est au dessus de sa dérivée et donc de ses tangentes non ?

Et j'ai besoin de ce résultat pour conclure la deuxième partie de la question "d. [...] Quel est le sens de variation de la dérivée seconde ?"

Merci d'avance pour les réponses,
Bonne journée ou soirée !

Dernière modification par yoshi (30-11-2022 21:47:47)

Fred

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Re : Exercice sur les dérivées

Bonsoir,

  La condition $f'(x)>0>f''(x)$ seule n'entraîne pas que $f'$ est convexe. Il doit y avoir autre chose dans ton exercice pour conclure.

Quant à ton analogie, tu as raison de t'en méfier : dire que la courbe représentative de $f$ est au dessus de ses tangentes signifie
que, pour tout $x$ et tout $a$ réels, on a $f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a)$. Ce n'est pas du tout $f(x)>f'(x)$.

F.

Grocayou

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Re : Exercice sur les dérivées

Merci pour la réponse,

J'avais bien peur de faire une erreur en m'appuyant sur mon idée. Donc je peux dire que
[tex] \forall a,b, f''>0 ssi f'(b)>= f'(b)+(b-a)\times f''(a) [/tex] pour en conclure quant à la convexité de f'(x).

Bonne journée !

Dernière modification par yoshi (01-12-2022 11:15:17)

Fred

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Re : Exercice sur les dérivées

Pas tout à fait. C'est $f'(b)\geq f'(a)+(b-a)f''(a)$. Tu as écrit $f'(b)$ au lieu de $f'(a)$ à droite.

F.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice sur les dérivées

Bonjour,

@Grocayou
Tu as un problème avec les balises de fermeture...
J'avais déjà corrigé ton post précédent, je recommence pour celui-ci : ce sera la dernière fois...
On n'utilise pas  l'anti slash \ mais le slash / ...

[tex] \forall a,b, f''>0 ssi f'(b)>= f'(b)+(b-a)\times f''(a) [\tex]

devient, uniquement en changeant \tex pour /tex :
[tex] \forall a,b, f''>0 ssi f'(b)>= f'(b)+(b-a)\times f''(a) [/tex]

Si tu crains de te tromper : utilise la barre d'outils des messages...
Sinon, une alternative signalée dans mon tuto (Code Latex) au lieu des balises tex, tu peux encadrer tes formules par le symbole du dollar...

@+