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Le non-illuminé

Invité

Probabilité conditionnelle et probabilité complémentaire

Bonjour, je vous prie pour commencer de m'excuser pour la question que je vais vous poser, qui est sûrement idiote, mais je n'ai pas trouvée de réponse claire et précise à propos de cela.

Supposons A={0;1} un ensemble et B={e1,e2,...,eM} un ensemble de m éléments.
Notons a probabilité conditionnelle P(A=i|B=ek).

Puis-je dire que la probabilité P(A=1|B=ek)=1-P(A=0|B=ek) ? Car il me semble "logique" de me dire que la probabilité d'obtenir A=1 sachant B=ek est équivalente à la probabilité de ne PAS obtenir A=1, donc A=0 par complémentaire, sachant qu'on a B=ek.

Alors voilà le fond de ma question : Puis-je dire que P(A=1|B=ek)=1-P(A=0|B=ek) sans commettre une erreur mathématique ? En d'autres termes, la probabilité conditionnelle est-elle égale à la probabilité complémentaire sachant la même condition (ici B=ek) ?

Merci d'avance pour les réponses, même si je sais qu'elle peut apparaît un peu idiote, mais j'avoue avoir une difficulté viscérale avec les probabilités...

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Probabilité conditionnelle et probabilité complémentaire

Bonjour,

  Ce que tu écris montre déjà de grosses confusions en probabilité.
Si $A$ est un ensemble, que signifie $A=1$????
Est-ce que tu ne mélanges pas avec des variables aléatoires à valeurs dans $\{0,1\}$ et dans $\{e_1,\dots,e_m\}$?

Il faut d'abord que tu clarifies cela dans ta tête et sur ce que tu écris pour que l'on puisse te répondre.

F.

bridgslam

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Re : Probabilité conditionnelle et probabilité complémentaire

Bonjour,

Il faut revoir, comme vous le signale très justement Fred, ce que vous exprimez, afin de ne pas aboutir à des choses vides de sens.
Cependant si vôtre question  est celle-ci : est-ce-que $P( B|A) + P( \overline{B} | A )= 1 $ la réponse est oui.
C'est un bon exercice de le démontrer, et pas bien sorcier.

▼une idée de preuve

Vous pouvez regarder  l'évènement $A \backslash (A \cap \overline{B}) $ , calculer sa probabilité, et revenir aux définitions relatives aux probabilités conditionnelles, et comparer.

Une autre façon de voir, c'est qu'une probabilité conditionnelle est une probabilité à part entière, et vérifie donc toutes ses propriétés ( cours): probabilité du complémentaire etc.

A.

Dernière modification par bridgslam (24-11-2022 10:01:49)

Grocayou

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Messages : 7

Re : Probabilité conditionnelle et probabilité complémentaire

Bonjour,

Merci pour vos réponses,
Je vais regarder cet exercice !