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#1 Re : Entraide (supérieur) » Théorème de Cayley (Théorie des groupes) » 02-10-2022 14:31:58
Bonjour Fred,
Merci, j’y suis! Rien à voir avec le théorème de Cayley! J’ai en effet numéroté les sommets d’un carré, écrit ses 8 permutations: identité, 3 rotations (pi/2, pi et 3*pi/2) et 4 symétries (horizontale, verticale et les deux diagonales). J’ai ensuite composé ces 8 permutations entre elles (consigné dans une table de Cayley à 64 éléments) et montré que leur composition deux à deux donne une permutation qui reste dans cet ensemble de 8 permutations et que chacune d’entre elle admet un et un seul inverse. Ce qui prouve que cet ensemble est un sous-groupe de S4. Le morphisme est en effet assez simple à trouver il associe une opération (identité, symétrie, rotation) à la permutation qui en résulte.
Merci de m’avoir guidé et aidé à sortir de l’impasse dans laquelle je m’étais mis.
Best
Pierre
#2 Re : Entraide (supérieur) » Théorème de Cayley (Théorie des groupes) » 01-10-2022 17:19:21
Bonjour Fred,
Merci pour la réponse. Je pense que je me complique trop la vie, par rapport à ce qui est demandé dans l'énoncé. Le théorème de Cayley permet de conclure que D4 est isomorphe à un sous-groupe de S8, car D4 a 8 éléments.
Dès lors et toujours pour répondre à la question, S4 est un sous-groupe de S8 et le même S4 a 30 sous-groupes et le cardinal (ordre) de chacun de ses sous-groupe divise l'ordre de S4. Cet ordre est 24 et comme 8 divise 24, alors et toujours pour répondre à la question, on confirme qu'il existe au moins un isomorphisme entre D4 et S4.
Je pense que c'est suffisant comme cela, suis-je correct?
Best
Pierre
#3 Entraide (supérieur) » Théorème de Cayley (Théorie des groupes) » 30-09-2022 18:10:57
- Fernand_Naudin
- Réponses : 4
Bonjour,
Je travaille sur l'exercice suivant: "Montrer que le groupe D4 (groupe des isométries du carré) est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S4."
Je pense utiliser ici le théorème de Cayley (Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe SG de ses permutations.). Ce théorème donne l'existence de l'isomorphisme. Maintenant J'ai un peu de mal à mettre les choses en perspective.
L'application stricte du théorème me dit que D4 est isomorphe à SD4, comme l'ordre de D4 est 8 (identité, rotation pi/2, rotation pi, rotation 3*pi/2, symétrie/horizontale, symétrie/verticale, symétrie/une diagonale, symétrie/l'autre diagonale total 8 éléments). Cela veut dire que D4 est isomorphe à un sous-groupe de S8. Bon S4 est un sous groupe de S8.
Jusque là OK (pour moi). Le groupe S4 est d'ordre 24 (4!) et l'ordre de ses sous-groupes divisent 24, donc sont d'ordre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Je vois bien le sous-groupe des 3 cycles de S4 il a 8 éléments auquel on doit ajouter l'identité ce qui fait 9 et là j'ai un problème pour obtenir un isomorphisme entre un ensemble à 8 éléments et un ensemble à 9 éléments.
Où me trompe-je?
Merci de vos pistes.
Best
Pierre
#4 Re : Entraide (supérieur) » Exercice sur les groupes quotients » 02-09-2022 15:46:59
Imparable et très clair !
Merci beaucoup
Best
Pierre
#5 Entraide (supérieur) » Exercice sur les groupes quotients » 02-09-2022 14:44:05
- Fernand_Naudin
- Réponses : 2
Bonjour,
J'ai travaillé sur l'exercise suivant: "Soit G=SL2[tex]\mathbb(R)[/tex] le sous-groupe de GL2[tex]\mathbb(R)[/tex] des matrices de déterminant 1. On considère les sous-groupes H et K de G engendrés respectivement par: [tex]
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{array}
\right]
[/tex] et [tex]
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
[/tex]
Déterminer les éléments des ensembles des classes G/H, H\G, G/K et K\G."
Si pour H j'ai pu avancer, pour K j'ai un problème, car il me semble que K n'est pas un sous-groupe de G ce qui rend les questions sur G/K et K\G caduque (la matrice identité n'appartient pas à K). Qu'en pensez-vous?
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