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Fernand_Naudin

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Théorème de Cayley (Théorie des groupes)

Bonjour,

Je travaille sur l'exercice suivant: "Montrer que le groupe D₄ (groupe des isométries du carré) est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S₄."

Je pense utiliser ici le théorème de Cayley (Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe S_G de ses permutations.). Ce théorème donne l'existence de l'isomorphisme. Maintenant J'ai un peu de mal à mettre les choses en perspective.

L'application stricte du théorème me dit que D₄ est isomorphe à S_D4, comme l'ordre de D₄ est 8 (identité, rotation pi/2, rotation pi, rotation 3*pi/2, symétrie/horizontale, symétrie/verticale, symétrie/une diagonale, symétrie/l'autre diagonale total 8 éléments). Cela veut dire que D₄ est isomorphe à un sous-groupe de S₈. Bon S₄ est un sous groupe de S₈.

Jusque là OK (pour moi). Le groupe S₄ est d'ordre 24 (4!) et l'ordre de ses sous-groupes divisent 24, donc sont d'ordre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Je vois bien le sous-groupe des 3 cycles de S₄ il a 8 éléments auquel on doit ajouter l'identité ce qui fait 9 et là j'ai un problème pour obtenir un isomorphisme entre un ensemble à 8 éléments et un ensemble à 9 éléments.

Où me trompe-je?

Merci de vos pistes.

Best
Pierre

Fred

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Re : Théorème de Cayley (Théorie des groupes)

Salut,

  La composée de deux 3-cycles n'est pas forcément un 3 cycle - ou l'identité. Par exemple, (1 2 3)o(1 2 4) est une double transposition.

F.

Fernand_Naudin

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Re : Théorème de Cayley (Théorie des groupes)

Bonjour Fred,

Merci pour la réponse. Je pense que je me complique trop la vie, par rapport à ce qui est demandé dans l'énoncé. Le théorème de Cayley permet de conclure que D₄ est isomorphe à un sous-groupe de S₈, car D₄ a 8 éléments.

Dès lors et toujours pour répondre à la question, S₄ est un sous-groupe de S₈ et le même S₄ a 30 sous-groupes et le cardinal (ordre) de chacun de ses sous-groupe divise l'ordre de S₄. Cet ordre est 24 et comme 8 divise 24, alors et toujours pour répondre à la question, on confirme qu'il existe au moins un isomorphisme entre D₄ et S₄.

Je pense que c'est suffisant comme cela, suis-je correct?

Best
Pierre

Fred

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Re : Théorème de Cayley (Théorie des groupes)

Bonjour,

  Non, ça ne va pas, car qui te dit qu'un sous-groupe de $S_8$ même à $8$ éléments est forcément un sous-groupe de $S_4$???
Rien ne dit que $S_4$ contient, à isomorphisme près, tous les groupes d'ordre $8$.
Je pense que l'isomorphisme que tu cherches est simple, mais a une nature géométrique.
Les isométries du carré agissent sur les sommets du carré. Tu peux numéroter les sommets du carré de $1$ à $4$.
A une isométrie du carré qui transforme le sommet $1$ en le sommet $i_1$, le sommet $2$ en le sommet $i_2$, etc... ,
tu associes la permutation $s$ de $\{1,\dots,4\}$ telle que $s(1)=i_1$, $s(2)=i_2$,....

F.

Fernand_Naudin

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Re : Théorème de Cayley (Théorie des groupes)

Bonjour Fred,

Merci, j’y suis! Rien à voir avec le théorème de Cayley! J’ai en effet numéroté les sommets d’un carré, écrit ses 8 permutations: identité, 3 rotations (pi/2, pi et 3*pi/2) et 4 symétries (horizontale, verticale et les deux diagonales). J’ai ensuite composé ces 8 permutations entre elles (consigné dans une table de Cayley à 64 éléments) et montré que leur composition deux à deux donne une permutation qui reste dans cet ensemble de 8 permutations et que chacune d’entre elle admet un et un seul inverse. Ce qui prouve que cet ensemble est un sous-groupe de S₄. Le morphisme est en effet assez simple à trouver il associe une opération (identité, symétrie, rotation) à la permutation qui en résulte.

Merci de m’avoir guidé et aidé à sortir de l’impasse dans laquelle je m’étais mis.

Best
Pierre