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Fernand_Naudin

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Exercice sur les groupes quotients

Bonjour,

J'ai travaillé sur l'exercise suivant: "Soit G=SL₂[tex]\mathbb(R)[/tex] le sous-groupe de GL₂[tex]\mathbb(R)[/tex] des matrices de déterminant 1. On considère les sous-groupes H et K de G engendrés respectivement par: [tex]
\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{array}
\right]
[/tex] et [tex]
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
[/tex]

Déterminer les éléments des ensembles des classes G/H, H\G, G/K et K\G."

Si pour H j'ai pu avancer, pour K j'ai un problème, car il me semble que K n'est pas un sous-groupe de G ce qui rend les questions sur G/K et K\G caduque (la matrice identité n'appartient pas à K). Qu'en pensez-vous?

Eust_4che

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Re : Exercice sur les groupes quotients

Bonjour,

Dans un groupe $G$, le sous-groupe engendré par un élément $a$ est plus petit sous-groupe le contenant : il s'agit de l'ensemble des puissances $a^k$, où $k \in \mathbb{Z}$. Je pense que tu as confondu "sous-groupes" avec "sous-groupes finis" et que, ne voyant pas apparaitre $I_2$ en multipliant la matrice, tu t'es dit qu'elle n'était pas une puissance de celle-ci, mais :
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Bien à toi,
E.

Fernand_Naudin

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Re : Exercice sur les groupes quotients

Imparable et très clair !

Merci beaucoup

Best
Pierre