Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous et à toutes,

Si $\Phi \colon \mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$ est une application bilinéaire telle que $f(x, y) = \Phi(x, y, \cdot, \cdot) \in (\mathbf{R}^2)^*$ quel que soit $(x, y) \in \mathbf{R}^2$, une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit la dérivée d'une fonction $y \colon  \mathrm{U} \rightarrow \mathbf{R}$ est que $\Phi$ soit symétrique :
- La condition est nécessaire : elle entraîne que $y$ est $2$-fois dérivable dans $U$ et sa dérivée en un point $(x_0, y_0)$ de $U$ est $\Phi$ (identifiée à l'application linéaire $\mathbf{R}^2 \rightarrow (\mathbf{R}^2)^*$), donc $\Phi$ est symétrique (th. de Schwarz).
- La condition est suffisante : l'application $(x, y) \mapsto 1/2 \Phi(x, y, x, y)$ répond à la question.

Donc $\Phi$ n'est pas symétrique, l'équation $y' =   \Phi(x, y, \cdot, \cdot)$ n'admet pas de solution.

Une application $f$ qui est solution d'une équation $y' = f$ est une $1$-forme différentielle exacte. Toute $1$-forme différentielle exacte étant fermée (par construction), il suffit que ton $1$-forme différentielle ne soit pas exacte pour qu'il n'existe aucune solution :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_dif … lle_exacte

E.

Bonjour à tous et à toutes,

Pour compléter la réponse de Roro, et comme je pense que tu dois être au début de tes études supérieures, j'en profite pour te donner le conseil suivant : ne pas se laisser intimider par une expression et toujours simplifier. Ici, tu as un gros machin
$$
\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i  = 1}^n a_{i, \sigma(i)}.
$$
Tu peux voir qu'il s'agit d'une simple somme finie d'expression
$$
(-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = \pm a_{1, \sigma(1)} \ldots a_{n, \sigma(n)}
$$
et travailler avec le dernier membre.

E.

Oui c'est très vrai. Je me suis arrêté à la continuité de $1/x$ sur $[0, +\infty]$. Je n'ai pas pris en compte les changements de signes :-/

Bonjour,

Content de voir que je ne suis pas le seul à trouver ChatGPT assez inutile pour faire des mathématiques. Un carré est parfait s'il est le carré d'un entier, pas d'un rationnel.

E.

Bonjour à tous et à toutes !

Une réponse assez simple :

E.

Bonjour à tous et à toutes,

Je ne suis pas d'accord pour qu'on dise n'importe quoi à des élèves sous le prétexte que "cela se voit sur un dessin". Une courbe n'est pas convexe ou concave. Une partie de $\mathbf{R}^2$ est convexe ou n'est pas convexe. Une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe ou n'est pas convexe. Une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe si son "épigraphe", l'ensemble $\textrm{épi}(f) = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 \mid y \geq f(x) \}$, est un ensemble convexe. Une fonction $f$ est concave si $-f$ est convexe.

Demander à ton élève si la courbe d'équation $x = y^2$ est convexe ou non n'a pas de sens. En revanche, on peut lui demander si l'ensemble des couples $(x, y)$ de $\mathbf{R}^2$ tels que $x \leq y^2$ est une partie convexe ou non, ce que tu lui demande en réalité.

N'importe quelle transformation affine de $\mathbf{R}^2$ préserve les parties convexes. Si la fonction $f$ est convexe, toute les manipulations sur $\textrm{épi}(f)$ qui sont affines (comme les rotations) donne un ensemble convexe.

E.

Bonjour à tous et à toutes,

Je suis de l'avis de Dr Stone. Il n'y pas d'intérêt à faire une distinction entre une fonction et une application. Si vraiment, pour une raison ou pour une autre, on manipule des fonctions qui ne "sont pas partout définies", autant raisonner directement à l'aide du graphe (fonctionnelle) de la fonction. Ça explique pourquoi on ne fait pas la distinction en pratique.

La formulation "Trouver le domaine de définition de la fonction ..." n'a vraiment de sens. C'est juste une façon d'introduire un exercice différent (trouver les $0$ d'un polynôme, déterminer l'ensemble des $x$ tels que $f(x) \geq 0$, etc.) On ne la retrouve plus par la suite, et c'est tant mieux.

Les compétences attendues d'un Lycéen et collégien sont surtout des "savoir-faire". Le cours n'est finalement là que pour comprendre l'énoncé d'un exercice, sans plus. Pas la peine d'employer un jargon sophistiqué ou de faire des différences qui n'ont pas lieu d'être. Face à la consigne "Trouver le domaine de définition de la fonction ...", il faut seulement que l'élève comprenne ce qu'on lui demande. Et une rédaction "Tout revient à déterminer... " fait amplement l'affaire pour introduire la réponse. Plus vraiment question de fonction.

Ça faisait longtemps !

Je ne sais pas où tu trouves tes élèves ni leurs enseignants. Mais, après la lecture de chacune des tes anecdotes, j'en arrive à la même conclusion qu'ils ont tous le même enseignant, a qui il faut d'urgence interdire d'enseigner : je n'imagine pas un seul instant un enseignant, en mathématiques, en 2025, présenter la notion de fonctions dérivées sans faire une animation toute mignonne sur Geogebra et la projeter en classes........ J'ai eu droit à cette animation quand j'était lycéen, et j'ai passé un bac ES où la définition d'une fonction dérivée n'était pas au programme....

Est-on certains que tes élèves suivent ce qui se passe en cours ?

Bonjour à tous et à toutes,

Comme $x \geq 1$ et que $|f(x)| \geq 0$, on a $x |f(x)| \geq |f(x)|$. Comme $|f(x)| \leq 1/x$, on a également $x |f(x)| \leq 1$. D'ou ta majoration.

E.

Bonjour,

Décidément, les notations des physiciens frôlent bien le ridicule.

Il y a un problème dans la définition des indices : je doute fortement que la dimension de l'espace $\mathbf{R}^{n_x}$ soit fonction de la variable $x$.

Organisons un peu tout ça. On se donne deux entiers $n_1$ et $n_2$, une application $h$ de $\mathbf{R}^{n_1} \times \mathbf{R}^{n_2}$ dans $\mathbf{R}^{n_1}$, et une application $A$ définie dans $\mathbf{R}^{n_2}$ et à valeurs dans l'espace vectoriel $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$ des matrices carrées d'ordre $n_1$, et on note $g$ l'application $(x, p) \mapsto A(p)x - h(x, p)$.

Soit $f$ la fonction
$$
(x, p)  \mapsto A(p)x
$$
définie dans  $\mathbf{R}^{n_1} \times \mathbf{R}^{n_2}$ et à valeurs dans $\mathbf{R}^{n_1}$.

Par définition, la dérivée partielle de $f$ au point $(x_0, p_0)$ par rapport à $p$ est la différentielle au point $p_0$ de l'application partielle $f_2 \colon p \mapsto A(p)x_0$. On peut remarquer que $f_2$ est composée de $A$ est de l'application linéaire

$$
\phi \colon
\begin{cases}
\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R}) \longrightarrow \mathbf{R}^{n_1} \\
M \longmapsto Mx_0
\end{cases}
$$

D'après la règle de la dérivation en chaîne, la différentielle de $f_2$ au point $p_0$ est l'application linéaire
$$
D(f_1) = D(\phi)_{A(p_0)} \circ D(A)_{p_0}
$$
de $\mathbf{R}^{n_2}$ dans $\mathbf{R}^{n_1}$. Puisque $\phi$ est linéaire, on a $D(\phi)_{A(p_0)} = \phi$, ce qui fait que $D(f_1)$ l'application linéaire
$$
p \mapsto [ D(A)_{p_0}(p)]x_0,
$$
et
$$ p \mapsto D(A)_{p_0}(p)$$
est la différentielle de $A$ au point $p_0$. Il s'agit d'une application linéaire de l'espace $\mathbf{R}^{n_2}$ à valeurs dans $\textrm{M}_{n_1}(\mathbf{R})$. J'image qu'un tenseur d'ordre $3$ doit être quelque chose comme ça : une application d'un espace vectoriel dans un espace de matrice.

Je pense que tu as oublié que d'appliquer $D(A)_{p_0} = \partial A / \partial p \mid_{p_0}$ à un élément $p$ de $\mathbf{R}^{n_2}$ pour obtenir une matrice, avant d'appliquer $x$.

Bonjour,

Le problème, en tout cas pour moi, et c'est la raison pour laquelle j'ai pas répondu, est qu'il est là question de tenseurs "au sens physique" et non des tenseurs "au sens mathématiques", ie des objets vérifiant des propriétés de changement de coordonnés, et pas des éléments du produit tensoriel de deux espaces vectoriels (ou de deux modules). J'ai cru comprendre que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels de dimension finie permet d'obtenir des tenseurs "au sens physique", mais je n'ai pas l'expertise suffisante pour l'exprimer clairement. Surtout je n'ai pas compris le définition de la "forme du tenseur". Et je pense que c'est le cas de bcp de monde ici (de formation mathématicienne et non physicienne).

Si je comprend qu'il est question du produit tensoriel $\textbf{R}^3 \otimes \textbf{R}^3$ de $\textbf{R}^3$ par lui-même, je dirais que pour calculer $\overrightarrow{e_o} \otimes \overrightarrow{e_\theta}$, il suffit de distribuer les coefficients pour obtenir une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e_i} \otimes \overrightarrow{e_j}$ pour $i, j = 1, 2, 3$. Mais je ne sais pas qu'elle est la forme du tenseur résultante.

Comme je ne sais pas ce qu'est un tenseur d'ordre 3, je ne peux pas t'aider plus...

E.

Bonjour tout le monde,

Hum... J'utiliserais plutôt les quantités conjuguées.

E.