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Borassus

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A propos de la dérivation

Bonjour,

Pour dresser le tableau des variations, de manière classique, on étudie la dérivée première et son signe, les limites aux bornes de l'ensemble de définitions, quelques valeurs à des points critiques ...

Mais rien n'empêche, de chercher la dérivée seconde et son signe et de l'inclure dans le tableau (même si on ne le fait pas systématiquement)

On a ainsi également des informations sur les points d'inflexion, anguleux ou de rebroussement.

Jadis, si on omettait cette partie alors qu'elle était utile dans le cas étudié ... on était pénalisé.

Bonsoir à tous, bonsoir Black Jack,

Je reviens un peu tardivement : j'ai été peu disponible ces jours-ci.

S'il y a bien un domaine de l'enseignement des maths qui relève du dressage, c'est, à mon sens, celui de la dérivation !

On balance d'abord tout de go la définition du nombre dérivé en une valeur $a$ comme étant la limite du taux d'accroissement lorsque $h = x -a$ tend vers $0$ :
        $f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h) - f(a)}{h}$

Ploum ! (Très peu de profs présentent d'emblée la définition $f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \dfrac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ )

Qu'est-ce qu'un taux d'accroissement ? Que traduit-il ? Qu'est-ce que même un taux ? Que signifie $h \to 0$ ? Que signifie, par exemple $f'(a) = 0,2$ ou $f'(a) = -5$ ?

Fort de cette définition assénée ex abrupto, on fait calculer les nombres dérivés de $mx + p$, $x^2$, éventuellement $x^3$, $\sqrt x$, toujours par la même méthode qui devient rapidement lassante.

Comme les élèves n'intègrent pas que $\dfrac 1 x$ et $\sqrt x$ relèvent de la logique d'une fonction puissance à laquelle s'applique la structure $nx^{n-1}$, je les vois presque systématiquement hésiter : ils se souviennent que dans les deux cas, l'expression du nombre dérivé ou de la dérivée est 1 sur quelque chose, que dans les deux cas il y a un 2, et que l'un des deux cas il y a le signe $-$.
Je vois donc couramment $- \dfrac 1 {2 \sqrt x}$ pour la dérivée de $\dfrac 1 x$, et $- \dfrac 1 {x^2}$ pour la dérivée de $\sqrt x$.

A partir de là on présente les deux tables des dérivées, la première en $x$, le seconde en $u$.
« Je dois apprendre tout ça ?! »
« Le prof nous a balancé une série de formules dont je ne comprends pas la logique ! »
(Idem d'ailleurs pour les tables de primitives.)
Alors qu'il y a juste une structure à apprendre, et à comprendre la logique générale de dérivation de fonctions composées.

Viennent ensuite la dérivation des différentes opérations portant sur les fonctions : multiplication d'une fonction par un réel, somme et produit de deux fonctions, et deux seulement, quotient de deux fonctions, avec l'inévitable formule $(uv)' = u'v + uv'$ érigée en véritable tyrannie :
il faut explicitement écrire — sous peine de perte de points !! — quelle fonction correspond à $u$, quelle fonction correspond à $v$, rappeler la formule, écrire la dérivée du produit objet de l'exercice.
Ecrire directement que la dérivée de $(2x^2 - 5x - 7)e^{3x + 2}$ est égale à $(4x - 5)e^{3x + 2} + (2x^2 - 5x - 7)e^{3x + 2} \times 3$, en montrant qu'on a parfaitement compris la règle de dérivation, peut coûter des points !!!
(Mes élèves sont tout étonnés lorsque je leur demande d'écrire la dérivée de $uvw$, ou de $uvwt$.)

Vient enfin la fameuse équation de la tangente, une des deux divinités de la dérivation, à laquelle on rend un véritable culte incantatoire : "l'équation de la tangente", "l'équation de la tangente".
(Je ne sais combien de milliers — de dizaines de milliers ? —d'exercices demandent de déterminer l'équation de la tangente, qui, la plupart du temps, ne sert quasiment à rien.)
Mais comme les élèves retiennent surtout $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, ils ne comprennent pas qu'il faut développer en $y = f'(a)\,x + f(a) - af'(a)$ pour obtenir une équation réduite de la forme $y = mx + p$.
Et ils sont étonnés lorsque j'explique que pour que la tangente passe par l'origine, il faut simplement que $f(a) - af'(a)$ soit égal à $0$.
Je reçois même en réaction « Mais on nous ne l'a jamais dit ! ».

Avant que soit étudiée en Terminale la dérivée seconde — vous vous rendez compte ! la dérivée de la dérivée ! les neurones des pauvres élèves de Première ne peuvent pas encaisser un tel niveau conceptuel ! —, un grand nombre d'exercices demandent de calculer le nombre dérivé en telle valeur, et de déterminer l'équation de la tangente correspondante.
Puis demandent d'étudier le signe de $f(x)$ moins un polynôme du premier degré, qui se trouve précisément être celui de la tangente demandée, et d'en déduire la position relative de la courbe $C_f$ et de cette droite.

Les élèves perçoivent que si la différence est positive, la courbe est au-dessus de la droite, et que si la différence est négative, elle est en dessous de la droite, mais ne perçoivent pas que la différence nulle signifie tout simplement que la courbe et la droite ont alors un point commun, ce qui est la moindre des choses pour une courbe et sa tangente en un point.

Comme les notions de convexité, de concavité et de point d'inflexion ne sont vues qu'en Terminale — là aussi ces notions dépassent largement les capacités neuronales des élèves de Première ! — l'exercice, souvent, s'arrête là.

Mais la grande divinité incantatoire de la dérivation est le signe de la dérivée et son dérivé, le cé-lé-bris-sime tableau de variation, avec comme l'écrit Black Jack, les limites aux bornes du domaine de définition, et quelques valeurs caractéristiques.

Vous ne pouvez pas imaginer avec quel plaisir intense les élèves apprennent que telle fonction, dont ils ne voient même pas la courbe dans la majeure partie des cas, croît jusqu'à un maximum, puis décroît jusqu'à un minimum, puis tend vers une limite finie en $+ \infty$ !

Le tableau n'indique pas avec quelle vitesse évolue la fonction dans tel intervalle — $e^x$, $\sqrt x$, $\ln x$, sont croissantes et tendent toutes trois vers $+ \infty$.

Il n'indique pas non plus explicitement l'existence de points d'inflexion, qui se déduisent de la configuration du tableau de variation :
Par exemple, il y a obligatoirement une inflexion entre deux extrema, ou entre un extremum et une limite finie en $+\infty$.
(Pour vous en convaincre, tracez une courbe avec un maximum et un minimum. Vous verrez que votre main dessinera automatiquement une inflexion. Vous le percevrez encore plus si vous dessinez une courbe avec, par exemple, un extremum suivi d'une asymptote horizontale.)

Le calcul de la dérivée seconde et la détermination des valeurs pour lesquelles elle s'annule en changeant de signe permettent de préciser les valeurs exactes pour lesquelles il y a inflexion.
C'est d'autant plus utile que sur la courbe, un point d'inflexion est entouré d'une partie rectiligne plus ou moins étendue, et que vouloir déterminer graphiquement le point d'inflexion relève le plus souvent du pifomètre.

En conclusion, la notion de dérivée est sans doute la notion la plus importante, et, paradoxalement par ce que je peux voir maintes et maintes fois, la plus mal enseignée.

Merci de votre attention, selon la formule consacrée, et pardon de vous asséner un nouveau pavé borassussien. :-)
Bon week-end à tous !

Dernière modification par Borassus (25-04-2025 18:24:32)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

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Re : A propos de la dérivation

La dérivée n-ième d'une fonction $f$ est notée $f^{(n)}$.

Mais comment noter une primitive n-ième ?

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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Eust_4che

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Re : A propos de la dérivation

Ça faisait longtemps !

Je ne sais pas où tu trouves tes élèves ni leurs enseignants. Mais, après la lecture de chacune des tes anecdotes, j'en arrive à la même conclusion qu'ils ont tous le même enseignant, a qui il faut d'urgence interdire d'enseigner : je n'imagine pas un seul instant un enseignant, en mathématiques, en 2025, présenter la notion de fonctions dérivées sans faire une animation toute mignonne sur Geogebra et la projeter en classes........ J'ai eu droit à cette animation quand j'était lycéen, et j'ai passé un bac ES où la définition d'une fonction dérivée n'était pas au programme....

Est-on certains que tes élèves suivent ce qui se passe en cours ?

Dernière modification par Eust_4che (25-04-2025 18:44:00)

Borassus

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Re : A propos de la dérivation

Bonsoir Eustache,

Merci de ton exclamation ! :-)
Content aussi de te retrouver.

J'ai au contraire des élèves provenant de pas mal de lycées différents, privés et publics, prestigieux ou simplement de quartier, et lorsque je suis une ou un élève pendant trois ou quatre années, je "vois" des profs différents du même établissement.

Je ne sais si mes élèves bénéficient d'animations. Je vois seulement les notes et polycopiés de cours.
Et, malheureusement, les "anecdotes" dont je fais part sont trop répétitives pour que je puisse les considérer comme des cas isolés.

Je persiste et signe : je vois chez la quasi totalité de mes (relativement nombreux) élèves une réelle incompréhension de fond de la notion de dérivée, et ce depuis des années. (Je termine ma treizième année scolaire.)

PS : Avant la réforme Blanquer, je suivais couramment chaque année une douzaine d'élèves de Terminale, section S et ES, avec ou sans la spécialité.

Dernière modification par Borassus (25-04-2025 19:21:59)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

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Re : A propos de la dérivation

Est-on certains que tes élèves suivent ce qui se passe en cours ?

Ce n'est pas un problème d'écoute du cours !!
Les élèves sont SATURÉS de formules dont ils ne comprennent pas le sens !!

Et lorsqu'ils en comprennent la logique, leurs réactions sont immanquablement, :
« C'est tout ?! Mais c'est tout simple ! » (voire « C'est tout con ! » )
Les filles surtout, plus sensibles à la logique des choses que les garçons : « Ah, c'est logique, c'est simple ! »  ou  « C'est logique, c'est facile ! »

Contrairement à une idée reçue, les élèves VEULENT comprendre et ONT PLAISIR à comprendre !

PS :
1) On peut probablement dresser un chimpanzé ou un bonobo à recopier au clavier un texte imprimé. Ce n'est pas pour autant qu'il comprendra le sens de ce qu'il saisit...

2) Ce sont précisément leurs incompréhensions qui nourrissent ma propre compréhension de fond, en m'obligeant à m'extraire moi-même des formules (parfois péniblement) pour pouvoir en expliquer la logique.
Je n'enseigne pas ce que je sais du haut de mon statut de prof ; j'enseigne ce que peu à peu je comprends moi-même...
(en bonne partie grâce à vous ; merci !)

Dernière modification par Borassus (25-04-2025 20:22:43)

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