Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir

je me demandais à quoi le reste à l'ordre n d'une série servait, il est définit dans mon cours mais ne sert nul part

merci d'avance

Mathieu

Bonjour à tous

j'ai retrouvé dans mon cours le résultat suivant que je ne comprends pas:

$E$ est un ensemble non vide et pour $x_0\in E\ $ on définit $E_0 = E\backslash {x_0}$ . On a aussi $f:E\to F$
On a alors l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$ qui est définit par $\mathcal F(E,F)\to \mathcal F(E_0,F)\times F$
                                                                                               $f: \to (f_{|E_0}(x); f(x_0))$
         
cette affirmation est tirée de la démonstration par récurrence du cardinal $\mathcal F(E,F)$ mais je ne comprends pas pourquoi on obtient ce résultat, pourquoi on se retrouve avec un couple.

merci d'avance

Mathieu

Bonsoir!

Il s'agit d'un exercice du site:

Pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort qui réunit n équipes de basket-ball de 1ère division et n équipes de 2ième division, de sorte que chaque équipe joue un match, et un seul.
Calculer la probabilité qn que tous les matchs opposent deux équipes de la même division.

et la correction indique: D'abord, si n est impair, un tel tirage au sort est clairement impossible, et qn=0. On suppose donc que n est pair et s'écrit 2k. On choisit d'abord les k matchs parmi 2k qui opposent les matchs de 1ère division entre eux : cela fait $\binom{2n}2$ choix. Une fois ce choix réalisé, il faut compter le nombre de tirages à l'intérieur entre équipes de 1ère division. De la même façon que lorsqu'on a compté le nombre total de tirages au sort, on trouve $\binom{2n-2}2$. De même pour les tirages au sort entre équipes de 2è division. On a donc : $q_{2k}=\frac{2^{2k}}{(4k)!}\times \binom{2k}k\times\left(\frac{(2k)!}{2^k}\right)^2=\frac{\binom{2k}k}{\binom{4k}{2k}}.$

Je comprends le raisonnement mis en place pour le denombrement (c'est d'ailleurs ce que j'avais commencé à faire de mon coté), je dois bien avouer que je ne comprends pas la réponse! Si quelqu'un pouvait m'expliquer...

Merci d'avance
Mathieu

Bonjour!

Soit E un espace fini de dimension inconnue , et (e1,…,en) une famille de n vecteurs de E de norme 1 tels que, pour tout x∈E, on a
$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$  Montrer que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de E

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai supposé que E est de dimension n, ce qui me permet d'avoir juste à prouver que $(e_1,\dots,e_n)$ est libre, ce que l'on prouve facilement en montrant qu'elle est orthogonale.
Ensuite, je valide mon hypothese de la dimension de E en utilisant le theoreme de la base incomplete: si $(e_1,\dots,e_n)$ n'est pas une base, alors il existe $(e_n+1,\dots,e_n+m)$ qui permet de completer ma famille orthogonale en une BON. sauf que si on prend un $e_j$ dans cette famille, on aurait $\|e_j\|^2=\sum_{k=1}^n \langle e_j,e_k\rangle^2. = 0$ car lee $e_k$ sont tous orthogonaux à $e_j$. On aurait alors une norme égale à 0, donc le vecteur est le vecteur nul et la famille est alors liée, car toute famille possédant 0 est liée. Donc Dim E n'est pas superieure à n.
Il reste à montrer que dim E n'est pas inferieure à n et on aura prouvé que dim E = n. Sauf que je bloque ici. Je voulais utiliser le theoreme de la base extraite et faire la même chose qu'avec le theoreme de la base incomplète, mais ca ne marche pas ici... Quelqu'un aurait il des suggestions?

Merci d'avance
Mathieu

Bonsoir!

Soit $A\in\mcmnr$.  Si le rang de A vaut n−1, notons u (resp. v) l'endomorphisme associé à A (resp. à $\ ^t\!\comat(A)$)  dans la base canonique de $\mtr^n$. On a necessairement $\imv(u)\subset\ker(v)$

C'est cette inclusion que je ne comprends pas, donc si quelqu'un passe par là et souhaite m'expliquer, je lui en serai reconnaissant!

Merci d'avance
Mathieu