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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 06-08-2021 23:22:34
- Mathyeux
- Membre
- Inscription : 18-04-2021
- Messages : 19
ensemble des fonctions de E dans F
Bonjour à tous
j'ai retrouvé dans mon cours le résultat suivant que je ne comprends pas:
$E$ est un ensemble non vide et pour $x_0\in E\ $ on définit $E_0 = E\backslash {x_0}$ . On a aussi $f:E\to F$
On a alors l'ensemble des fonctions de $E$ dans $F$ qui est définit par $\mathcal F(E,F)\to \mathcal F(E_0,F)\times F$
$f: \to (f_{|E_0}(x); f(x_0))$
cette affirmation est tirée de la démonstration par récurrence du cardinal $\mathcal F(E,F)$ mais je ne comprends pas pourquoi on obtient ce résultat, pourquoi on se retrouve avec un couple.
merci d'avance
Mathieu
Hors ligne
#2 07-08-2021 17:32:49
- Paco del Rey
- Invité
Re : ensemble des fonctions de E dans F
Bonjour Mathieu
Ton application, appelons-là [tex]\Phi[/tex] :
$\Phi : \mathcal F(E,F)\to \mathcal F(E_0,F)\times F$
$f \mapsto (f_{|E_0}(x); f(x_0))$
est une bijection. (démonstration ?)
Les ensembles $\Phi : \mathcal F(E,F)$ et $\mathcal F(E_0,F)\times F$ ont donc le même cardinal.
Paco.
#3 09-08-2021 15:57:04
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : ensemble des fonctions de E dans F
Bonjour,
Mathyeux, quelle est précisément l'affirmation ? Tu ne la précises pas, et ta phrase en elle-même n'a pas de sens.
Dans l'expression de ton couple, il faut enlever (x) , sinon cela n'a pas de sens.
Difficile de faire intervenir une récurrence si E et F sont de cardinaux quelconques.
Par-contre une preuve d'équipotence entre le produit cartésien et [tex]F^E[/tex]est possible:
- de façon générale sans hypothèse de cardinaux finis, c'est aussi la plus naturelle
- en cas particulier ( donc plus restrictif) si E est fini, on procède par récurrence sur son cardinal, si F est aussi fini.
- c'est vrai si card E = 1 (la première projection du couple est l'application vide, unique)
- si c'est vrai pour card E = n ( hyp. de récurrence), on retrouve la formule habituelle, mais uniquement pour ce n particulier.
Pour passer à l'ordre n+1, f est définie de façon unique par le choix de [tex]f(x_0)[/tex], donc card F possibilités, et du choix
de [tex]f_{|E_0}[/tex] , dont la quantité est connue d'après l'hypothèse de récurrence.
La multiplication des deux donne alors la propriété à l'ordre n+1.
- Conclusion...
Merci de recopier l'énoncé exact dans les questions sur le forum svp.
Alain
Hors ligne
#4 11-08-2021 21:46:05
- Mathyeux
- Membre
- Inscription : 18-04-2021
- Messages : 19
Re : ensemble des fonctions de E dans F
Bonsoir et pardon pour la réponse tardive
Merci de recopier l'énoncé exact dans les questions sur le forum svp.
la prochaine fois j'enverrai une image, je ne suis pas habitué à Latex, je me contente de copier/coller des formules toutes faites que je trouve dans les cours du site puis je les modifie
La récurrence ne me posait pas de problème, c'était cette définition de $\Phi$ qui bloquait, mais maintenant c'est bon
si je ne me trompe pas, on peut "revenir en arriere" avec
$\Psi : \mathcal F(E_0,F)\times F \to \mathcal F(E,F) F(E_0,F)\times F$
$(f_{|E_0}(x); y_0) \mapsto f $
en prolongeant $f_{|E_0}(x)$ à E en posant $f(x_0) = y_0$ qui appartient à $F$, d'où $\mathcal F(E_0,F)\times F$
Mathieu
Hors ligne
#5 12-08-2021 07:29:28
- Paco del Rey
- Invité
Re : ensemble des fonctions de E dans F
Bonjour Mathieu.
Tu ne te trompes pas. Restriction dans un sens, prolongement dans l'autre.
Paco.