Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il est demandé de calculer le rayon de CV de la série $\sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}$.
Je l'ai fait par la règle de d'Alembert et cela fonctionne.
Il propose une autre méthode dans la correction que je ne comprends pas :

Pour $R>0$, on a

$ \begin{equation}
\frac{\sqrt nR^{2n}}{2^n+1}\sim_{+\infty} \sqrt n \left(\frac{R^2}{2}\right)^n.
\end{equation}$

Ceci est borné si et seulement si $\frac{R^2}2<1$. Le rayon de convergence est donc $\sqrt 2$.

Comment déduit-on que le rayon de CV est $\sqrt 2$ ?

Je vous remercie d'avance de votre réponse,
Neo

Bonsoir,

Je me questionnais à propos de cette formulation :

Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière et notons $R$ son rayon de convergence.
Soit $|z_0|<R$, alors par définition de $R$, il existe $r$ tel que $|z_0|<r<R$ et $S(r)$ converge.

Je ne comprends pas tout à fait l'inégalité stricte $r<R$, comment s'assure-t-on qu'il en existe bien un ?

Je vous remercie d'avance de votre réponse,
Neo

Bonjour,

Dans la correction de la Q2 de l'exercice 8 sur les Séries numériques, il y a :

[tex]\begin{eqnarray*}
\frac{u_{n+1}}{u_n}&=&e\exp\left(-n\left(\frac1n-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\right)\\
&=&e\exp\left(-1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)\right)\\
&=&1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac 1n\right).
\end{eqnarray*}[/tex]

Je ne comprends pas tout à fait comment on arrive à la conclusion que pour n assez grand, [tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1[/tex] d'après le DL précédent. A priori on ne sait pas que le petit o est positif à partir d'un certain rang.

Je vous remercie d'avance de votre réponse,
Neo