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Neo0101

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Séries de fonctions

Bonjour,

Pour chaque $k \in \mathbb{N}-\{0\}$ et chaque $x>0$ on pose $f_{k}(x)=\frac{1}{k^{x}\left(1+k+\sin ^{2}(k)\right)}$
Montrer que $F(x)=\sum_{k \geqslant 1} f_{k}(x)$ converge pour tout $\left.x \in\right] 0,+\infty[$ et que la fonction ainsi obtenue $F:$ ] $0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ est dérivable.

Je n'arrive pas à prouver que la fonction $F$ est dérivable dans l'exercice ci-dessus. J'ai essayé de montrer la CVN de $\sum_{k \geqslant 1} f'_{k}(x)$, mais je n'y parviens pas. Faut-il plutôt calculer explicitement F ? Avez-vous une piste svp ?

Neo

Fred

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Re : Séries de fonctions

Bonjour

  A première vue prouver la cvn de la série dérivée sur des intervalles du type x>a avec a>0 fixé me semble une bonne idée. On doit pouvoir majorer par une série de Bertrand convergente.

F