Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Neo0101

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Exercice 8 Séries numériques

Bonjour,

Dans la correction de la Q2 de l'exercice 8 sur les Séries numériques, il y a :

[tex]\begin{eqnarray*}
\frac{u_{n+1}}{u_n}&=&e\exp\left(-n\left(\frac1n-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\right)\\
&=&e\exp\left(-1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)\right)\\
&=&1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac 1n\right).
\end{eqnarray*}[/tex]

Je ne comprends pas tout à fait comment on arrive à la conclusion que pour n assez grand, [tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1[/tex] d'après le DL précédent. A priori on ne sait pas que le petit o est positif à partir d'un certain rang.

Je vous remercie d'avance de votre réponse,
Neo

Fred

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Re : Exercice 8 Séries numériques

Bonjour,

  Tu peux écrire que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}-1=\frac 1{2n}+o\left(\frac 1n\right)$$
donc que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\sim_{+\infty}\frac 1{2n}.$$
On en déduit (avec la définition des équivalents) que $\frac{u_{n+1}}{u_n}-1$ est du même signe que $\frac 1{2n}$
pour $n$ assez grand.

Cdt,
F.

valoukanga

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Re : Exercice 8 Séries numériques

Bonjour !

Si tu avais $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + o\left(\frac1n\right)$, j'aurai été d'accord avec ton raisonnement. Ici on a le $\frac1{2n}$ en plus. Si le petit $o$ est positif, pas de souci. Sinon : comme le petit $o$ est un petit $o$ de $\frac1n$, il est plus petit en l'infini que $\frac1{2n}$ par définition des petits $o$. Ainsi, on a $\frac1{2n} + o\left(\frac1n\right) \ge 0$

C'est clair ?

Edit : Grillé par Fred ! (sa réponse est en + bien plus rigoureuse que la mienne)

Dernière modification par valoukanga (14-11-2020 12:44:16)

Neo0101

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Re : Exercice 8 Séries numériques

Je vous remercie tous les deux. C'est très clair maintenant !