Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Hum, Bernard ?

Bonjour,
On peut expliciter un isomorphisme $\alpha$ entre $\mathbb Z/a\mathbb Z\times \mathbb Z/b\mathbb Z$ et $\mathbb Z/m\mathbb Z\times \mathbb Z/d\mathbb Z$. Notons $a'=a/d$ et $b'=b/d$. Il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $ua'-vb'=1$.
$\alpha$ est induit par l'automorphisme de $\mathbb Z^2$ de matrice $\begin{pmatrix}1&ua'\\1&vb'\end{pmatrix}$ et $\alpha^{-1}$ par celui de matrice inverse $\begin{pmatrix} -vb'&ua'\\1&-1\end{pmatrix}$.

Bonjour,

Pour commencer, une remarque de forme : tu as lancé ce fil avec ton compte ArthurPrime. Pourquoi le continuer avec un autre pseudo, comme invité ?

Ensuite, on peut te faire une réponse à deux niveaux :
1°) La page que tu as mise en lien est un catalogue de recettes pour trouver une solution particulière d'une équadiff linéaire avec second membre. Ces recettes marchent. Donc, tu appliques la recette, point barre.
2°) Si tu cherches à savoir pourquoi le recette marche, voici une explication. Soit $D$ la droite vectorielle dans l'espace des fonctions réelles engendrée par la fonction $f:x\mapsto \exp(rx)$, dans le cas où cette fonction n'est pas solution de l'équadiff homogène $y''+ay'+by=0$. L'application linéaire $u$ définie par $u(y)=y''+ay'+by$ envoie $D$ dans elle-même et $u(f)\neq 0$ (hypothèse que $f$ n'est pas solution de l'équadiff homogène). Donc $u$ est un automorphisme linéaire de $D$, et pour tout réel $A$ il existe un unique $g\in D$, c.-à-d. $g=Bf$, tel que $u(g)=Af$. Autrement dit, ce $g$ est une solution particulière de l'équadiff avec second membre $y''+ay'+by= A\exp(rx)$.

Bonjour,
Si les deux premiers pions sont placés sur la même case, cela ne détermine pas le choix entre colonne et ligne.

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?

Oui.

Ça serait plutôt

C'est ça que je te demande.

Bonjour,
Pour parler de fonction $C^\infty$, il faudrait que $E$ et $F$ soient des variétés différentiables. Quelle est leur structure de variété différentiable ?

On dirait que tu ne lis pas ce que j'écris. Alors je le réécris, et de façon plus explicite.
J'affirme que le théorème de l'invariance du domaine entraîne qu'il n'existe pas d'application injective continue de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$.
Supposons en effet qu'une telle application $f$ existe. Définissons l'application $g : \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ par $g(x,y) = (f(x,y), 0)$. Alors $g$ est injective continue. Donc, par le théorème d'invariance du domaine, $g(\mathbb R^2)$ est un ouvert de $\mathbb R^2$. Or l'image de $g$ est contenue dans $\mathbb R \times \{0\}$ ...
Ça y est tu as compris ?
Le raisonnement montre en fait qu'une injection de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ ne peut être continue sur aucun ouvert de $\mathbb R^2$.

Le théorème d'invariance du domaine peut très bien être appliqué : si $f: \mathbb R^2\to \mathbb R$ est injective continue, alors $(f,0) : \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ est injective continue et donc ...
Je t'ai donné un exemple simple d'application injective de $]0,1[^2$ dans $]0,1[$, et donc de de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ puisqu'il est facile de décrire une bijection (et même un homéomorphisme) de $\mathbb R^2$ sur $]0,1[^2$.

Bonjour,
Il est impossible d'avoir une telle injection continue, par le théorème de l'invariance du domaine.
Il est facile d'envoyer injectivement $\left]0,1\right[^2$ dans $]0,1[$ en utilisant les décimales. C'est parfaitement explicite, non ? Tu envoies $(0.a_1a_2a_3\ldots,\; 0.b_1b_2b_3\ldots)$ sur $0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3\ldots$.