Rafael Bombelli (1526 [Bologne] - 1572 [Rome])
Raphaël Bombelli est le dernier des grands algébristes italiens du XVIè siècle. Il est né à Bologne d'un père marchand. Il devient ingénieur et travaille au service d'un noble romain, Alessandro Ruffini. Il dirige avec succès l'assèchement de marais en Toscane ce qui lui vaut une certaine réputation dans ce domaine.
Lors d'une pause de ces travaux hydrauliques, entre 1557 et 1560, Bombelli, qui n'a pas fréquenté l'université, entreprend l'écriture d'un livre d'Algèbre. Son but est d'en faire un traité complet où le lecteur pourra tout apprendre sur le sujet sans devoir se référer à d'autres sources. L'ouvrage est presque achevé lorsque Bombelli, grâce à l'aide d'Antonio Maria Pazzi, a accès à un exemplaire de l'Arithmétique de Diophante qui se trouve à la bibliothèque du Vatican. Il a le projet, avec Pazzi, d'en faire une traduction. Ce projet ne sera jamais mené à son terme, mais Bombelli modifie en profondeur son texte à la lecture de Diophante : il incorpore ainsi de nombreux problèmes posés par ce dernier. Surtout, son livre délaisse les problèmes pratiques et devient clairement orienté sur le savoir théorique. Il est finalement publié en 1572, quelques mois avant sa mort.
L'Algèbre de Bombelli contient de nombreux progrès. Le plus important concerne certainement les nombres imaginaires, qu'il appelle nombres impossibles. Les prédécesseurs de Bombelli (Scipione del Ferro, Cardan, Tartagli, Ferrari) ont travaillé, avec succès, à résoudre les équations du 3è et du 4è degré. Ainsi ont été dégagées les formules de Cardan pour résoudre l'équation $x^3+px+q=0$, dont une solution est donnée (en notations modernes) par $$x_0=\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$$ Si l'on considère l'équation $x^3-15x-4=0$, alors il est facile de vérifier que $4$ est racine de l'équation. Pourtant, la formule de Cardan donne $$x_0=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$$ qui oblige à utiliser la racine carrée d'un nombre négatif, ce que Cardan se refuse à faire. Bombelli s'affranchit de cette contrainte, et appelle "piu di meno" ce que nous notons désormais $i$ et "meno di meno" ce que nous notons $-i$. Il donne ensuite les règles de multiplication de ces nombres, par exemple "piu di meno via meno di meno fa piu" qu'on traduit en termes modernes par $(+i)\times (-i)=1$. Utilisant ces formules, il montre comment déduire la solution $4$ des formules de Cardan.
L' autre apport principal de Bombelli concerne les notations. Alors que ses contemporains comme Cardan en employaient très peu, voire pas du tout, Bombelli systémise leur usage. Par exemple, il note $Rc\lfloor 2pRq\lfloor 0m121\rfloor\rfloor$ ce que nous écrivons désormais $\sqrt[3]{2+\sqrt{0-121}}.$ Il adopte aussi une notation pour les puissances proches de celle de Chuquet.