Exercices corrigés -Suites, séries, intégrales et produits infinis de fonctions holomorphes et méromorphes

Exercice 1 - Une suite de fonctions holomorphes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que la formule $F(z)=\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{z^n+1}$ définit une fonction holomorphe dans $\mathbb C\backslash \overline{D}(0,2)$. Calculer $F'(z)$ pour tout $z\in \mathbb C\backslash \overline{D}(0,2)$.

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Fonction Zeta ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Montrer que la formule suivant définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Série avec des puissances ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:D(0,1)\to\mathbb C$ une fonction holomorphe telle que $f(0)=0.$ Soit $M>0$ tel que, pour tout $z\in D(0,1/2),$ on a $|f(z)|\leq M.$

Démontrer que pour tout $z\in D(0,1/2),$ on a $|f(z)|\leq 2M|z|.$
Justifier que la série $\sum_{n\geq 1}f(z^n)$ définit une fonction holomorphe sur $D(0,1)$.

Indication

Corrigé

Exercice 4 - Une série de fonctions méromorphes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer que la formule $f(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{z^2-n^2}$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$. On précisera les pôles de $f$ ainsi que leur multiplicité.

Corrigé

Exercice 5 - Suites de fonctions holomorphes ne s'annulant pas ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$ et soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans $\Omega$ qui converge uniformément sur les compacts de $\Omega$ vers $f$, qui est donc holomorphe. On suppose que les $(f_n)$ ne s'annulent pas sur $\Omega$ et on veut prouver que ou bien $f$ ne s'annule pas, ou bien $f$ est identiquement nulle. On suppose $f$ non-identiquement nulle et on fixe $a\in\Omega$.

Justifier l'existence d'un réel $r>0$ tel que $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ et $f$ ne s'annule pas sur le bord du disque $D(a,r)$ (on pourra utiliser le principe des zéros isolés).
Justifier l'existence de $\veps>0$ tel que, pour tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f(z)|\geq\varepsilon.$
Justifier l'existence de $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f_n(z)|\geq \varepsilon/2$.
En déduire que $|f_n(a)|\geq\veps/2$.
Conclure.

Indication

Corrigé

Exercice 6 - Convergence uniforme non triviale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Montrer que la série de fonctions méromorphes $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{z-n}$$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb C$.

Indication

Corrigé

Exercice 7 - Un développement en série ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Le but de l'exercice est de démontrer la formule suivante : $$\forall z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,\ \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{(z-n)^2}=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2.$$

Question préliminaire : montrer que, pour $z=x+iy$, on a $$|\sin z|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2y.$$
Montrer que la série $f(z)=\sum_{n\in \mathbb Z}1/(z-n)^2$ converge normalement sur tout compact de $\mathbb C$. En déduire que $f$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont les pôles sont en $\mathbb Z$.
On pose $g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2$. Montrer que $f$ et $g$ ont même partie singulière en 0. En déduire que $h=f-g$ se prolonge une fonction entière.
Montrer que $h$ est bornée sur sur l'ensemble $\{0\leq\Re e(z)\leq 1;\ |\Im m(z)|>1\}$. En déduire que $h$ est constante, puis, en étudiant $\lim_{y\to+\infty}h(iy)$, que $h=0$.
Montrer que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$

Indication

Corrigé

On écrit $$\sin(z)=\sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy),$$ puis on remarque que $$\cos(iy)=\textrm{ch}(y)\textrm{ et }\sin(iy)=i\textrm{sh}(y).$$ Le résultat suit immédiatement.
Soit $K$ un compact de $\mathbb C$. Il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que $a\leq \Re e(z)\leq b$ pour tout $z\in K$. Pour $n>b$, on a $$\frac{1}{|z-n|^2}\leq \frac{1}{(n-b)^2},$$ et le membre de gauche est le terme général d'une série convergente. D'autre part, pour $n<a$, on a $$\frac{1}{|z-n|^2}\leq\frac{1}{(a-n)^2},$$ et le membre de droite est le terme général d'une série convergente. Ainsi, on a une série de fonctions méromorphes qui converge normalement, donc uniformément, sur les compacts, vers une fonction $f$ qui est par conséquent elle aussi méromorphe. Les singularités de $f$ sont en les entiers, et $f$ est de plus $1$-périodique.
Écrivons $f(z)=\frac{1}{z^2}+u(z)$, où $u(z)=\sum_{n\neq 0}\frac{1}{(z-n)^2}$. La série définissant $u$ est une série de fonctions holomorphes au voisinage de 0 qui converge uniformément dans un voisinage de 0. $u$ est donc holomorphe, et $f$ s'écrit donc comme somme de $1/z^2$ et d'une fonction holomorphe en 0. On en déduit que la partie singulière de $f$ en 0 est $1/z^2$.
Pour $g$, on va effectuer un développement limité. En effet, $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}=\frac{1}{z^2}\times\frac{1}{1+O(|z|^2)}=\frac{1}{z^2}+O(1).$$ Ainsi, $f$ et $g$ ont même partie singulière en 0. Ceci signifie qu'en 0, on a $f-g=O(1)$. Ainsi, $h=f-g$ est une fonction holomorphe au voisinage de 0, sauf en 0, mais qui est bornée au voisinage de 0. 0 est donc une fausse singularité et $h$ se prolonge en une fonction holomorphe en 0. Par 1-périodicité de $h$, toutes les singularités de $h$ sont effaçables, et $h$ se prolonge en une fonction entière.
Soit $x\in[0,1]$ et $|y|>1$. On a $$|\sin(\pi z)|\geq |\textrm{sh}(\pi y)|\geq \textrm{sh}(\pi)$$ car $|\sin(\pi z)|^2=\sin^2(\pi x)+\textrm{sh}^2(\pi y)$. De plus, $$|f(z)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{1+(x-n)^2}\leq \sum_{n\leq 0}\frac{1}{1+n^2}+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{1+(n-1)^2}$$ ce qui prouve que $g,f$ et donc $h$ sont bornés dans le domaine considéré.
De plus, $h$ est bornée, car continue, sur le compact $\{0\leq \Re e(z)\leq 1,\ |\Im m(z)|\leq 1\}$. Par conséquent, $h$ est bornée sur la bande $\{0\leq \Re e(z)\leq 1\}$, puis par périodicité sur $\mathbb C$ tout entier. Par le théorème de Liouville, $h$ est constante.
Enfin, on va prouver que $\lim_{y\to+\infty}h(iy)=0$, ce qui prouvera que $h=0$. En effet, on a $$|\sin(\pi iy)|\geq |\textrm{sh}(\pi y)|\to+\infty$$ ce qui prouve $\lim_{y\to+\infty}g(iy)=0$. Pour $f$, on écrit $$|f(iy)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{y^2+n^2}.$$ Pour prouver que ceci tend vers 0 lorsque $y$ tend vers $+\infty$, on peut
- Montrer que la série $\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{y^2+n^2}$ converge uniformément, car normalement (on peut majorer $(y^2+n^2)^{-1}$ par $(1+n^2)^{-1}$) sur $[1,+\infty[$ et utiliser le théorème d'interversion des limites;
- Utiliser le théorème de convergence dominée pour la mesure discrète sur $\mathbb Z$ en majorant $(y^2+n^2)^{-1}$ par $(1+n^2)^{-1}$.
Dans tous les cas, on prouve que $f(iy)$ tend vers 0 lorsque $y$ tend vers $+\infty$. C'est aussi le cas pour $h$ et donc $h=0$.
Reprenons les notations des questions précédentes. Puisque $h(0)=0$, c'est que $$f(z)=\frac{1}{z^2}+a+o(1)\quad\textrm{et}\quad g(z)=\frac{1}{z^2}+a+o(1)$$ avec la même constante $a$. Or, pour $f$, cette constante $a$ vaut $u(0)$, donc $2\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-2}$. Pour $g$, il faut pousser le développement limité un cran plus loin, et on trouve $\frac{\pi^2}{3}$. Ceci donne le résultat.

Exercice 8 - Développement en série de $\textrm{cotan}$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Pour $z\in\mathbb C,$ on rappelle que $$\begin{array}{lll} \displaystyle\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2&\quad\quad&\displaystyle\mathrm{ch}(z)=\cos(iz)=\frac{e^z+e^{-z}}2\\ \displaystyle\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}&&\displaystyle\mathrm{sh}(z)=-i\sin(iz)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}. \end{array}$$ On rappelle que $\sin(z)=0\iff z\in\pi\mathbb Z$ et que chaque élément de $\pi\mathbb Z$ est un zéro de multiplicité $1$ de $\sin.$ On rappelle également les formules de trigonométrie suivantes : pour tout $z\in\mathbb C,$ $$\cos(2z)=1-2\sin^2(z)\textrm{ et }\mathrm{ch}(2z)=1+2\mathrm{sh}^2(z).$$ Si $z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,$ on pose $$\mathrm{cotan}(z)=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}.$$ Le but de l'exercice est de démontrer la formule : $$\forall z\in \mathbb C\backslash\mathbb Z, \ \pi\mathrm{cotan}(\pi z)=\frac 1z+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}.$$

Démontrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont on précisera les pôles. On pourra poser $u_n(z)=\frac{2z}{z^2-n^2}.$
Pour la suite de l'exercice, on fixe $w\in\mathbb C\backslash \mathbb Z$ et on pose $$f(z)=\frac{\mathrm{cotan}(\pi z)}{z^2-w^2}.$$ Soit $n\in\mathbb N$ avec $n>|w|$ et on considère le carré $\mathcal R_n$ de sommets les points $\displaystyle \pm\left(n+\frac 12\right)\pm i\left(n+\frac 12\right).$ On note $\gamma_n$ le bord de ce carré, orienté positivement.
Dessiner $\mathcal R_n$.
Démontrer que la fonction $f$ possède $2n+3$ points singuliers dans $\mathcal R_n$. Calculer le résidu de $f$ en chacun de ces points singuliers.
En déduire que $$\frac 1{2i\pi}\int_{\gamma_n}f(z)dz=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{w}-\frac{1}{\pi w^2}-\sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi(w^2-k^2)}.$$
Soit $z=x+iy\in\mathbb C.$ Démontrer que $$|\sin(z)|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2(y).$$
Démontrer que pour tout $z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,$ $$(\mathrm{cotan}(z))^2=\frac1{\sin^2(z)}-1.$$
En déduire qu'il existe $C>0$ telle que, pour tout $n>|w|,$ pour tout $z\in\gamma_n,$ $|\mathrm{cotan}(\pi z)|\leq C.$
Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_{\gamma_n}f(z)dz=0.$
Conclure que $$\pi\mathrm{cotan}(\pi w)=\frac 1w+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2w}{w^2-n^2}.$$

Indication

Corrigé

Notons, pour $n\geq 1,$ $P_n=\{-n,n\}$ l'ensemble des pôles de $u_n$. Soit $K$ un compact de $\mathbb C.$ Alors il existe $M>0$ tel que $K$ est contenu dans le disque $D(0,M)$. Soit $n>M+1$. Alors, $u_n$ n'a pas de pôles dans $K$. De plus, la série $\sum_{n\geq M}u_n$ converge normalement, donc uniformément dans $K$. En effet, si $z\in K$, $n>M,$ alors $|z-n|\geq n-|z|>n-M>0$ et donc $$|u_n(z)|\leq \frac{2M}{(n-M)^2}$$ et le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente. Ainsi, la série définit bien une fonction méromorphe sur $\mathbb C$. Puisque $P_n\cap P_m=\varnothing$ si $n\neq m,$ les pôles de la somme de la série sont les entiers relatifs non nuls.
Ok!
On commence par remarquer que $f$ possède une singularité en $w$ et une singularité en $-w$. Si $w\in \frac\pi2+\pi\mathbb Z,$ $\mathrm{cotan}(\pi w)=0$ et les points sont deux fausses singularités dont le résidu est nul. Sinon, ces points sont des pôles simples et le résidu en ces pôle simples vaut $$\textrm{Res}(f,w)=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}\textrm{ et }\mathrm{Res}(f,-w)=\frac{\mathrm{cotan}(-\pi w)}{-2w}=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}$$ (cette formule fonctionne aussi si $w\in\frac 12+\pi\mathbb Z$). La fonction $f$ possède aussi un pôle en tous les points où le sinus s'annule et qui sont contenus dans $\mathcal R_n$. Ces points sont les entiers $k,$ avec $-n\leq k\leq n$. Il y a $2n+1$ tels pôles. De plus, écrivant $$f(z)=\frac{\cos(\pi z)/(z^2-w^2)}{\sin(\pi z)},$$ on trouve que $$\mathrm{Res}(f,k)=\frac{\cos(k\pi)/(k^2-w^2)}{\pi \cos(k\pi)}=\frac{1}{\pi(k^2-w^2)}.$$
Par le théorème des résidus, on trouve \begin{align*} \frac 1{2i\pi}\int_{\gamma_n}f(z)dz&=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}+\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{2w}-\frac{1}{\pi w^2}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi(k^2-w^2)}\\ &\quad\quad\quad +\sum_{k=-1}^{-n}\frac{1}{\pi(k^2-w^2)} \\ &=\frac{\mathrm{cotan}(\pi w)}{w}-\frac{1}{\pi w^2}+\sum_{k=1}^n \frac{2}{\pi(k^2-w^2)}. \end{align*}
On commence par remarquer que \begin{align*} |\sin( z)|^2&=\frac 14\left|e^{i x- y}-e^{-i x+ y}\right|^2\\ &=\frac 14\left(e^{i x- y}-e^{-i x+ y}\right)\times \left(e^{-i x- y}-e^{i x+ y}\right)\\ &=\frac 14\left(e^{-2 y}+e^{2 y}-e^{2i x}-e^{-2i x}\right)\\ &=\frac12\left(-\cos(2 x)+\mathrm{ch}(2 y)\right). \end{align*} On conclut alors facilement en utilisant les deux formules de trigonométrie rappelées au début de l'énoncé.
On écrit simplement que $$(\mathrm{cotan}(z))^2=\frac{\cos^2(z)}{\sin^2(z)}=\frac{1-\sin^2(z)}{\sin^2(z)}=\frac1{\sin^2(z)}-1.$$
D'après la question précédente, on a $$|\mathrm{cotan}(\pi z)|^2\leq 1+\frac1{|\sin^2(\pi z)|}.$$ Il s'agit donc de minorer le module de $|\sin(z)|$ si $z\in\gamma_n.$ Écrivons $z=x+iy.$ Deux cas sont possibles.
- ou bien $x=\pm\left(n+\frac 12\right).$ Mais dans ce cas, $\sin^2(\pi x)=1$ et donc $|\sin(\pi z)|^2\geq 1$ d'après le résultat de la question 5.
- ou bien $y=\pm\left(n+\frac 12\right).$ Mais dans ce cas, $$|\sin(\pi z)|^2 \geq \left(\mathrm{sh}\left(\left(n+\frac 12\right)\pi\right)\right)^2\geq \mathrm{sh}^2(\pi/2).$$
Posons $c=\min(1,\mathrm{sh}^2(\pi/2))$. Alors pour tout $z\in\gamma_n,$ on a $$\frac1{|\sin^2(\pi z)|}\leq \frac 1c,$$ et le résultat est prouvé avec $C=\sqrt{1+1/c}$.
Pour $z\in\gamma_n,$ on écrit que $$|f(z)|\leq \frac{C}{|z^2-w^2|}$$ où $C$ est la constante de la question précédente. De plus, si $z\in \gamma_n$, alors $$|z|^2 \geq \left(n+\frac 12\right)^2.$$ On a donc $$|z^2-w^2|\geq |z|^2-|w|^2\geq n^2-|w|^2>0.$$ De plus, la longueur de $\gamma_n$ est $$4\times 2\times \left(n+\frac 12\right)=8n+4.$$ On obtient donc $$\left |\int_{\gamma_n}f(z)dz\right|\leq \frac{(8n+4)C}{n^2-|w|^2}.$$ Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty}\int_{\gamma_n}f(z)dz=0.$
Le résultat s'obtient facilement par passage à la limite dans la question 4.

Exercice 9 - Un pas vers Montel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes qui converge simplement sur $U$ vers une fonction continue $f$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $z$ de $U$ et tout $n\geq 0$, on a $|f_n(z)|\leq C$.

Montrer que $f$ est holomorphe.
On fixe $K$ un compact de $U$ et $z_0\in K$, $r>0$ tel que $D(z_0,r)\subset U$. Montrer qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $z\in D(z_0,r/2)$, on a $$|f_n(z)-f_m(z)|\leq M \int_{C(z_0,r)}|f_n(w)-f_m(w)|dw,$$ où $C(z_0,r)$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r>0$.
En déduire que, pour tout $\veps>0$, il existe $p:=p(z_0)$ tel que, pour tout $n,m\geq p(z_0)$, on a $$\sup_{z\in D(z_0,r/2)}|f_n(z)-f_m(z)|\leq \veps.$$
Conclure que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$.

Indication

Corrigé

Exercice 10 - Espace de Bergman ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $H$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f:\Omega\to\mathbb C$ de carré intégrale : $\int_{\Omega}|f(x+iy)|^2dxdy<+\infty$. Pour $f,g\in H$, on pose $$\langle f,g\rangle=\int_\Omega f\overline g\textrm{ et }\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.$$

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire hermitien sur $H$.
Soit $w\in \Omega$. Prouver que $$|f(w)|\leq \frac{1}{d(w,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
Soit $K$ un compact de $\Omega$. Prouver que $$\sup_{w\in K} |f(w)|\leq \frac{1}{d(K,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
En déduire que $H$ est un espace de Hilbert.

Indication

Corrigé

$H$ est un sous-espace vectoriel de $L^2(\Omega)$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est la restriction du produit scalaire de $L^2(\Omega)$ à $H$.
Soit $r<d(w,\partial \Omega)$. D'après la formule de la moyenne appliquée à $f$ sur $D(w,r)\subset\Omega$, on a $$f(w)=\frac{1}{\pi r^2}\int_{D(w,r)}f(z)dz.$$ En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient \begin{eqnarray*} |f(w)|&\leq&\frac{1}{\pi r^2}\left(\int_{D(w,r)}|f(z)|^2dz\right)^{1/2}\left(\int_{D(w,r)}1dz\right)^{1/2}\\ &\leq&\frac{1}{\pi r^2}\left(\int_{D(w,r)}|f(z)|^2dz\right)^{1/2}\sqrt{\pi}r\\ &\leq&\frac{1}{\sqrt{\pi} r}\|f\|. \end{eqnarray*} On obtient le résultat en faisant tendre $r$ vers $d(w,\partial\Omega)$.
Soit $r=d(K,\partial \Omega)$. Alors, pour tout $w\in K$, on a $d(w,\partial\Omega)\geq d(K,\Omega)$. Le résultat se déduit alors immédiatement de la question précédente.
Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $H$ et $K$ un compact de $\Omega$. De la question précédente, on déduit que $$\sup_{w\in K}|f_n(w)-f_m(w)|\leq C\|f_n-f_m\|$$ où $C$ est une constante qui dépend de $K$. Autrement dit, la suite $(f_n)$ est de Cauchy pour la norme uniforme sur $K$. On en déduit que $(f_n)$ converge uniformément sur chaque compact vers une fonction $g_K$ (qui dépend normalement du compact $K$). Soit $(K_p)$ une suite exhaustive de compacts de $\Omega$ et notons $g_p=g_{K_p}$. Puisque la convergence uniforme sur $K_{p+1}$ entraîne la convergence uniforme sur $K_p$, on en déduit que $g_{p+1}=g_p$ sur $K_p$. Ainsi, on peut définir $g$ par $g(z)=g_p(z)$ si $z\in K_p.$ Par le théorème de Weierstrass sur la convergence uniforme des fonctions holomorphes, on en déduit que $g$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega$.
De plus, $(f_n)$ est une suite de Cauchy de $L^2(\Omega)$ qui est complet, et elle converge donc dans $L^2(\Omega)$ vers une fonction $h\in L^2(\Omega)$. Mais, sur un compact $K$, on a $$\int_{K}|f_n-f_m|^2\leq M \|f_n-f_m\|_\infty^2$$ où $M=\int_K 1$. Faisant tendre $m$ vers $+\infty$, puis $n$ vers $+\infty$, on trouve que $\lim_{n\to+\infty}\int_K |f_n-g|^2=0$. Puisque $\lim_{n\to+\infty}\int_K |f_n-h|^2=0$, on en déduit que $g=h$ presque partout, et donc que $(f_n)$ converge vers $g$ dans $L^2(\Omega)$. Ainsi, $g\in H$ et $(f_n)$ converge vers $g$ dans $H$ : $H$ est complet et est donc un espace de Hilbert.

Exercice 11 - Une fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer que la formule $$\phi(z)=\int_0^1 t^z(1-t)^{1-z}dt$$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega=\{z\in\mathbb C:\ -1<\Re e(z)<2\}$.

Indication

Corrigé

Exercice 12 - Fonction Gamma ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Montrer que la formule suivante définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$$

Corrigé

Exercice 13 - Transformée de Fourier ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f$ une fonction continue à support compact. On pose, pour $z\in\mathbb C$, $F(z)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{zx}dx$. Montrer que $F$ est une fonction entière. Que dire d'une fonction continue à support compact dont la transformée de Fourier est à support compact?

Indication

Corrigé

Exercice 14 - Une famille totale de $L^2(\mathbb R)$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On rappelle que dans un espace de Hilbert $H$ une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est dite totale si l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans $H.$ On rappelle également que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est totale si et seulement si, pour tout $v\in H$, si $\langle v,u_n\rangle=0$ pour tout $n\in\mathbb N,$ alors $v=0$. Le but de l'exercice est de démontrer que la famille $(x^ne^{-x^2})_{n\in\mathbb N}$ est totale dans $L^2(\mathbb R)$ - par abus de notation, on note $x^ne^{-x^2}$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $x\mapsto x^n e^{-x^2}$.

Soit $n\geq 0$. Justifier que $x^ne^{-x^2}\in L^2(\mathbb R)$.
Soit $h\in L^2(\mathbb R)$. Démontrer que la formule $$F(z)=\int_{\mathbb R}e^{zx}h(x)e^{-x^2}dx$$ définit une fonction entière. Calculer $F^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Soit $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=h(x)e^{-x^2}.$ Justifier que $g\in L^1(\mathbb R)$ puis exprimer la transformée de Fourier de $g$ en fonction de $F$.
On suppose désormais que $\langle h,x^ne^{-x^2}\rangle=0$ pour tout $n\in\mathbb N$. Déduire des questions précédentes que $h$ est nulle.

Indication

Corrigé

Exercice 15 - Transformée de Laplace ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction continue. On note $\Omega=\{z\in\mathbb C:\ \Re e(z)>0\}$.

On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $$\mathcal Lf(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega$.
On ne suppose plus que $f$ est intégrable, mais simplement que $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge, au sens où $\int_0^X f(t)dt$ admet une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty.$ Pour $x\geq 0,$ on pose $F(x)=\int_x^{+\infty}f(t)dt.$ Quelle est la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?
Démontrer qu'il existe un réel $M\geq 0$ tel que, pour tout $0<A<B$ et pour tout $s\in\Omega,$ on a $$\left|\int_A^B f(t)e^{-st}dt\right|\leq |F(A)|+|F(B)|+M\frac{|s|}{\Re e(s)}e^{-\Re e(s)A}.$$
En déduire que, pour tout $s\in\Omega,$ $\mathcal Lf(s)$ a un sens.
Pour $n\in\mathbb N$ et $s\in\Omega,$ on pose $L_n(s)=\int_0^n f(t)e^{-st}dt.$ Démontrer que $L_n$ est holomorphe sur $\Omega.$
En utilisant la question 3., majorer $|\mathcal Lf(s)-L_n(s)|$ pour tout $s\in\Omega.$
Démontrer que $\mathcal Lf$ est holomorphe dans $\Omega.$

Indication

Corrigé

On va utiliser le théorème d'holomorphie des intégrales à paramètres. Pour cela, on remarque que :
- pour tout $t>0,$ la fonction $s\mapsto e^{-st}f(t)$ est holomorphe dans $\Omega.$
- pour tout $s\in\Omega,$ la fonction $t\mapsto e^{-st}f(t)$ est continue sur $]0,+\infty[,$ donc mesurable.
- pour tout $s\in \Omega$ et tout $t>0,$ $$|e^{-st}f(t)|=e^{-\Re e(s)t}|f(t)|\leq |f(t)|,$$ et cette dernière fonction est une fonction intégrable sur $]0,+\infty[$ (qui ne dépend plus de $s$).
Ceci prouve que $\mathcal Lf(s)$ est bien définie sur $\Omega$ et que $\mathcal Lf$ est holomorphe sur $\Omega.$
On a $$F(x)=\int_0^{+\infty}f(t)dt-\int_0^x f(t)dt,$$ ce qui justifie que $\lim_{x\to+\infty}F(x)=0.$
On va faire une intégration par parties. En effet, $F'=-f,$ et on a donc \begin{align*} \int_A^B f(t)e^{-st}dt&=\left[-F(t)e^{-st}\right]_A^B-s\int_A^B F(t)e^{-st}dt\\ &=F(A)e^{-sA}-F(B)e^{-sB}-{s}\int_A^B F(t)e^{-st}dt. \end{align*} On remarque ensuite que $|e^{-sA}|\leq 1$ et que $|e^{-sB}|\leq 1.$ D'autre part, la fonction $F$ est continue sur $[0,+\infty[$ et tend vers $0$ en $+\infty$. Elle est donc bornée sur $[0,+\infty[$ et il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\geq 0,$ $|F(x)|\leq M.$ On en déduit que \begin{align*} \left|s\int_A^B F(t)e^{-st}dt\right|&\leq {|s|}\int_A^B e^{-\Re e(s)t} |F(t)| dt\\ &\leq M{|s|}\int_A^{+\infty}e^{-\Re e(s)t}dt\\ &\leq M{|s|}\left[\frac{e^{-\Re e(s)t}}{-\Re e(s)}\right]_A^{+\infty}\\ &\leq M{|s|}\times \frac{e^{-\Re e(s) A}}{\Re e(s)} \end{align*} Par application de l'inégalité triangulaire, on en déduit bien le résultat demandé.
Fixons $s\in\Omega$ et $\veps>0.$ Alors puisque $F(A)$, $F(B)$ et $M\frac{|s|}{\Re e(s)}e^{-\Re e(s)A}$ tendent vers $0$ lorsque $A$ et $B$ tendent vers $+\infty,$ il existe $t_0>0$ tel que, pour tous $t_0\leq A<B,$ on a $$\left|\int_A^B f(t)e^{-st}dt\right|\leq \veps.$$ Par le critère de Cauchy de convergence des intégrales impropres, l'intégrale définissant $\mathcal Lf(s)$ converge.
On applique à nouveau le théorème d'holomorphie des intégrales à paramètres, de la même façon qu'à la première question, mais sur l'intervalle $[0,n]$ au lieu de l'intervalle $]0,+\infty[$. Remarquons que, puisque $f$ est continue, elle est intégrable sur le segment $[0,n]$.
On a $\mathcal Lf(s)-L_n(s)=\int_{n}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt.$ Reprenant le résultat de la question $3.,$ avec $A=n$ et $B$ qui tend vers $+\infty$ (ce qui est légitime car on a démontré que l'intégrale était convergente), on trouve $$|\mathcal Lf(s)-L_n(s)|\leq |F(n)|+M \frac{|s|}{\Re e(s)}e^{-\Re e(s)n}.$$
Soit $K$ un compact de $\Omega$. On va démontrer que $(L_n)$ converge uniformément sur $K$ vers $\mathcal Lf$. Ceci prouvera l'holomorphie de $\mathcal Lf,$ puisque la limite uniforme sur tous les compacts de fonctions holomorphes reste une fonction holomorphe. Il existe $c,C>0$ tels que, pour tout $s\in K,$ on a $|s|\leq C$ et $\Re e(s)\geq c.$ On en déduit que $$|\mathcal Lf(s)-L_n(s)|\leq |F(n)|+M \frac{C}{c}e^{-nc}.$$ Comme ceci ne dépend plus de $s\in K$ et tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty,$ on a bien prouvé la convergence uniforme voulue.

Exercice 16 - Injectivité de la transformée de Fourier ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Dans cet exercice, on considère $f:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction continue et intégrable. On note $\hat f$ sa transformée de Fourier définie pour $x\in\mathbb R,$ $$\hat f(x)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-ixt}dt.$$ On note $U$ le demi-plan $\{z\in\mathbb C:\ \Im m(z)>0\}$ et $V$ le demi-plan $\{z\in\mathbb C:\ \Im m(z)<0\}.$ Soit $a\in\mathbb R.$ Pour $z\in\bar U,$ on pose $$F_a(z)=\int_{-\infty}^a f(t)e^{-iz(t-a)}dt.$$ Pour $z\in \bar V,$ on pose $$G_a(z)=-\int_{a}^{+\infty}f(t)e^{-iz(t-a)}dt.$$

Démontrer que $F_a$ est bien définie, continue et bornée sur $\bar U,$ et holomorphe sur $U.$
Démontrer que $G_a$ est bien définie, continue et bornée sur $\bar V,$ et holomorphe sur $V.$
On suppose désormais que $\hat f=0.$ Démontrer que $F_a$ et $G_a$ coïncident sur $\mathbb R.$
Démontrer que la fonction $H_a$ définit sur $\mathbb C$ par $H_a=F_a$ sur $\bar U$ et $H_a=G_a$ sur $V$ est une fonction entière bornée.
Calculer $\lim_{y\to+\infty}F_a(iy).$
En déduire que $\int_{-\infty}^af(t)dt=0.$
Conclure que $f=0.$

Indication

Corrigé

Posons $z=u+iv$ avec $\Im m(v)\geq 0.$ Alors pour tout $t\in ]-\infty,a],$ $$|f(t)e^{-iz(t-a)}|=|f(t)| e^{v(t-a)}\leq |f(t)|.$$ Ceci prouve que $F_a$ est bien définie sur $\bar U$ et bornée par $\|f\|_1.$ De plus, pour tout $t\in ]-\infty,a],$ $$z\mapsto f(t)e^{-iz(t-a)}$$ est continue sur $\bar U$ et holomorphe sur $U.$ Par la majoration obtenue ci-dessus, et par les théorèmes de continuité et d'holomorphie des intégrales à paramètres, on en déduit que $F_a$ est bien définie, continue et bornée sur $\bar U,$ et holomorphe sur $U.$
La preuve est exactement identique.
Soit $x\in\mathbb R.$ On a \begin{align*} F_a(x)&=\int_{-\infty}^a f(t)e^{-ix(t-a)}dt\\ &=e^{iax}\int_{-\infty}^a f(t)e^{-ixt}dt\\ &=-e^{iax}\int_{a}^{+\infty}f(t)e^{-ixt}dt\\ &=-\int_a^{+\infty}f(t)e^{-ix(t-a)}dt\\ &=G_a(x). \end{align*}
Par le théorème de Morera, il suffit de vérifier que pour tout triangle $T,$ on a $\int_{\partial T}H_a(z)dz=0.$ Si le triangle $T$ est contenu dans $U$ ou dans $V$, c'est immédiat et c'est une conséquence de l'homorphie de $F_a$ ou de $G_a$ et du théorème de Cauchy. Si $T\subset \bar U,$ on considère le triangle $T_\veps=T+i\veps$ pour $\veps>0$. Alors $\int_{\partial T_\veps}H_a(z)dz=0.$ On fait tendre $\veps$ vers $0$ et on utilise la continuité de $H_a$ et par exemple le théorème de convergence dominée pour en déduire que $\int_{\partial T}H_a(z)dz=0.$ Dans le cas où $T$ possède deux sommets dans $U$, disons $A$ et $B,$ et un sommet dans $V,$ disons $C,$ on considère $E$ et $F$ les points d'intersection de $(AC)$ et $(BC)$ avec l'axe des abscisses et les triangles $T_1,$ $T_2$ et $T_3$ de sommets respectifs $ABD,$ $DBE$ et $DEC.$ Alors l'intégrale sur le bord de chaque $T_i$ est nul. L'intégrale sur le bord de $T$ pouvant être vue comme la somme des intégrales sur le bord de chaque $T_i$ (à condition de paramétrer les triangles dans le bon sens), l'intégrale sur le bord de $T$ est nulle, et donc $H_a$ est bien holomorphe.
Pour $y\in\mathbb R_+,$ on a $$F_a(iy)=\int_{-\infty}^a f(t)e^{y(t-a)}dt.$$ On sait que, pour tout $y\in \mathbb R_+$ et tout $t\in ]-\infty,a[,$ on a $$|f(t)e^{y(t-a)}|\leq |f(t)|$$ et cette dernière fonction est intégrable sur $]-\infty,a[$. De plus, pour tout $t\in]-\infty,a[,$ puisque $t-a<0,$ on a aussi $$\lim_{y\to+\infty} f(t)e^{y(t-a)}=0.$$ Par le théorème de convergence dominée, $\lim_{y\to+\infty}F_a(iy)=0.$
La fonction $H_a$ est une fonction entière bornée. Par le théorème de Liouville, elle est constante. Par la question précédente, c'est nécessairement la fonction nulle. En particulier, $F_a(0)=0.$
La fonction $a\mapsto \int_{-\infty}^a f(t)dt$ est identiquement nulle. De plus, par le théorème fondamental du calcul intégral, elle est dérivable et sa dérivée est $f.$ Ainsi, $f$ est identiquement nulle.

Exercice 17 - Produit infini et fonction cosinus ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Justifier qu'il existe une fonction entière $h$ telle que, pour tout $z\in\mathbb C,$ on a $\cos(z)=1+z^2h(z).$
Démontrer que la formule $P(z)=\prod_{k=1}^{+\infty}\cos(z^k)$ définit une fonction holomorphe sur le disque unité $D(0,1)$.

Indication

Corrigé

Exercice 18 - Un produit infini ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On considère le produit infini $$f(z)=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1+z^{2^n}\right).$$

Prouver que ce produit converge normalement sur tout compact du disque unité $D$.
Montrer que, pour tout $z\in D$, on a $f(z^2)=f(z)/(1+z)$.
En déduire que $f(z)=1/(1-z)$ pour tout $z$ de $D$.

Indication

Corrigé

Exercice 19 - Zéros des fonctions holomorphes bornées ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $(a_n)$ une suite de points du disque unité $D$ vérifiant la condition $\sum_{n\geq 1}(1-|a_n|)<+\infty$. Le but de l'exercice est de construire une fonction $f:D\to\mathbb C$ holomorphe, vérifiant $|f(z)|\leq 1$ si $z\in D$, et dont les zéros dans $D$ sont exactement les $(a_n)$. Pour $n\geq 0$ et $z\neq 1/\overline{a_n}$, on pose $$b_n(z)=\frac{|a_n|}{a_n}\times\frac{a_n-z}{1-\overline{a_n}z},$$ avec la convention $\frac{|0|}0=1$.

Vérifier que, si $u$ et $v$ sont deux nombres complexes tels que $\bar uv\neq 1$, alors $$1-\left|\frac{u-v}{1-\bar u v}\right|^2=\frac{(1-|u|^2)(1-|v|^2)}{|1-\bar u v|^2}.$$
En déduire que $|b_n(z)|<1$ si $z\in D$, pour tout $n\geq 0$.
Démontrer que le produit infini $\prod_{n=0}^{+\infty}b_n$ est normalement convergent sur tous les compacts de $D$.
Conclure.

Indication

Corrigé

Exercice 20 - Produit eulérien ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Pour $w\in\mathbb C,$ on pose $F(w)=(1+w)e^{-w}$.

Démontrer qu'il existe une fonction entière $H$ tel que $F(w)=1+w^2 H(w)$.
En déduire que le produit infini $$\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac zn\right) e^{-z/n}$$ définit une fonction entière.

Indication

Corrigé

Exercice 21 - Trois produits infinis ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer que les produits infinis $\prod_{n\geq 1}(1+z^n),$ $\prod_{n\geq 1}(1-z^n)$ et $\prod_{n\geq 1}\frac1{1-z^{2n-1}}$ définissent une fonction holomorphe sur $D(0,1).$
Soit $z\in D(0,1)$. Démontrer que pour tout $N\in\mathbb N^*,$ on a $$\prod_{n=1}^{2N}(1-z^k)=\prod_{n=1}^N (1-z^n)\prod_{n=1}^N (1+z^n)(1-z^{2n-1}).$$
En déduire que $$\prod_{n=1}^{+\infty}(1+z^n)=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac1{1-z^{2n-1}}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 22 - Décomposition de $1/\zeta$ en produit infini ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Dans cet exercice, on note $\Omega=\{s\in\mathbb C:\ \Re e(s)>1\}$ et $(p_n)_{n\geq 1}$ la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant.

Démontrer que la formule $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}$ définit une fonction holomorphe dans $\Omega$.
Démontrer que le produit infini $$F(s)=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac 1{p_n^{s}}\right)$$ converge normalement sur les compacts de $\Omega$.
Pour $N\geq 1,$ on note $F_N$ le produit partiel $$F_N(s)=\prod_{n=1}^{N}\left(1-\frac 1{p_n^{s}}\right).$$ On note également $A_N$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont divisibles par aucun des $p_j,$ $1\leq j\leq N.$ Démontrer par récurrence que pour tout $N\geq 1$ et tout $s\in\Omega,$ $$\zeta(s)F_N(s)=\sum_{k\in A_N}\frac1{k^s}.$$
Démontrer que, pour tout $s\in\Omega,$ $\zeta(s)F(s)=1$ et en déduire que $\zeta$ ne s'annule pas sur $\Omega.$
Question subsidiaire : démontrer que $\lim_{x\to 1^+}\zeta(x)=+\infty.$ En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}\frac 1{p_n}$ est divergente.

Indication

Corrigé

Chaque fonction $s\mapsto n^{-s}$ étant holomorphe sur $\Omega,$ il suffit de prouver la convergence normale sur les parties compactes de $\Omega$. Soit $K$ une telle partie. Alors il existe $\sigma>1$ tel que $\Re e(s)\geq\sigma$ pour tout $s\in K$. On en déduit $$\left|\frac{1}{n^s}\right|\leq \frac 1{n^\sigma}$$ et le membre de droite est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série $\sum_{n\geq 1} n^{-s}$ converge normalement sur tous les compacts de $\Omega$ et définit une fonction holomorphe sur cet ouvert.
Notons $u_n(s)=1-p_n^{-s}$. Il s'agit de démontrer que la série $\sum_n (1-u_n)$ converge normalement sur tous les compacts de $\Omega$. Soit $K$ une telle partie et $\sigma>1$ tel que $\Re e(s)\geq\sigma$ pour tout $s\in K$. On a alors $$|1-u_n(s)|=\left|\frac 1{p_n^s}\right|\leq \frac{1}{p_n^\sigma}\leq \frac 1{n^\sigma}.$$ On conclut comme ci-dessus.
Fixons $s\in \Omega$ et considérons, pour $N\geq 1,$ $\mathcal P_N$ la propriété $$\zeta(s)F_N(s)=\sum_{k\in A_N}\frac1{k^s}.$$ Initialisation : pour $N=0,$ on a \begin{align*} \zeta(s)F_0(s)&=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}-\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n)^s}\\ &=\sum_{k\in A_1}\frac1{k^s} \end{align*} puisque $A_1$ est constitué des nombres impairs.
Hérédité : soit $N\in\mathbb N^*$ tel que $\mathcal P_N$ est vraie et prouvons $\mathcal P_{N+1}$. Alors on a \begin{align*} \zeta(s)F_{N+1}(s)&=\zeta(s)F_N(s)\left(1-\frac{1}{p_{N+1}^s}\right)\\ &=\sum_{k\in A_N}\frac{1}{k^s}\left(1-\frac{1}{p_{N+1}^s}\right)\\ &=\sum_{k\in A_N}\frac{1}{k^s}-\sum_{k\in A_N}\frac{1}{(p_{N+1}k)^s}\\ &=\sum_{k\in A_{N+1}}\frac{1}{k^s} \end{align*} où la dernière ligne vient du fait que $A_{N+1}=A_N\backslash p_{N+1}A_N$.
On va faire tendre $N$ vers $+\infty.$ Or, $$\left|\sum_{k\in A_N\backslash\{1\}} \frac1{k^s}\right|\leq \sum_{k\geq p_{N}}\frac1{|k|^s}$$ et ce dernier terme tend vers $0$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$, comme reste d'une série convergente. Ainsi, on a bien $\zeta(s)F(s)=1,$ et ceci entraîne bien sûr que $\zeta$ ne s'annule pas sur $\Omega.$
Cela peut être vu comme une conséquence du théorème de convergence monotone. En effet, si $1<x_1<x_2,$ alors $\frac{1}{n^{x_1}}\geq \frac 1{n^{x_2}}\geq 0$ et donc, par le théorème de convergence monotone associé à la mesure de comptage sur $\mathbb N,$ on a $$\lim_{x\to 1^+}\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac 1n=+\infty.$$ Si la série $\sum_n \frac{1}{p_n}$ était convergente, alors le produit infini $P$ convergerait normalement sur $\overline{\Omega}=\{s\in\mathbb C:\ \Re e(s)\geq 1\}$. En particulier, il serait continu en $1$ et on aurait $P(1)\neq 0$ puisqu'aucun des éléments du produit n'est nul. De la relation $\zeta(x)P(x)=1$ valable pour $x>1,$ on prouverait que $$\lim_{x\to 1^+}\zeta(x)=\frac1{P(1)},$$ ce qui est une contradiction avec ce que l'on vient de démontrer.

Exercice 23 - Théorème de Weierstrass ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On se propose dans cet exercice de démontrer le théorème suivant dû à Weierstrass : soit $(z_n)_{n\geq 1}$ une suite injective de nombres complexes telle que $|z_n|$ tend vers $+\infty$, et soit $(m_n)$ une suite d'entiers naturels non-nuls. Il existe une fonction entière dont les zéros sont exactement les $z_n$, de multiplicité respective $m_n$.
Pour cela, on introduit une suite $(\lambda_n)$ obtenue à partir de la suite $(z_n)$ en répétant chaque $z_n$ un nombre de fois égal à $m_n$. Par exemple, si $(m_n)$ est la suite $(2,1,2,\dots)$, alors la suite $(\lambda_n)$ est $(z_1,z_1,z_2,z_3,z_3,\dots)$. Cette suite vérifie aussi que $|\lambda_n|$ tend vers $+\infty$. Pour $p\geq 1$ un entier, on pose $$W_p(z)=(1-z)\exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right).$$

1. Calculer $W_p'(z)$ pour $p\ge 1$ et $z\in\mathbb C$. En déduire qu'il existe une suite $(a_n)_{n\geq p}$ de réels négatifs tels que, pour tout $z\in\mathbb C,$ $W'_p(z)=\sum_{n\geq p}a_n z^n$.
2. Montrer que, pour tout $p\ge 1$, on peut écrire $1-W_p(z)=z^{p+1}\varphi(z)$ où $\varphi$ est une fonction entière dont les coefficients de Taylor en 0 sont positifs et telle que $\varphi(1)=1$.
3. En déduire que, si $|z|\leq 1$, alors $$|W_p(z)-1|\leq |z|^{p+1}.$$
Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1}\left(\frac{z}{\lambda_n}\right)^{n+1}$ converge normalement sur tous les compacts de $\mathbb C$.
Démontrer que la formule $$f(z)=\prod_{n\geq 1}W_n\left(\frac{z}{\lambda_n}\right)$$ définit une fonction entière. En déduire le théorème de Weierstrass.
On fixe maintenant $g$ une fonction méromorphe sur $\mathbb C$. On suppose que $g$ possède une infinité de pôles. Rappeler pourquoi l'ensemble de ces pôles est une suite $(z_n)$ telle que $\vert z_n\vert$ tend vers $+\infty$. Pour $n\geq 1,$ on note $m_n$ la multiplicité de $z_n$ et on considère $f$ la fonction définie à la question 3. pour ces deux suites $(z_n)$ et $(m_n).$ Démontrer que la fonction $g\times f$ se prolonge en une fonction entière sur $\mathbb C$. Quel résultat peut-on en déduire ?

Indication

Corrigé

1. Pour $z\in\mathbb C$ et $p\geq 1,$ on a \begin{align*} W_p'(z)&=-\exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)+(1-z)\sum_{k=1}^p z^{k-1}\exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)\\ &=\exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)\left(-1+\sum_{k=1}^{p}z^{k-1}-\sum_{k=1}^p z^k\right)\\ &=\exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)\left(-1+1-z^p\right)\\ &=-z^p \exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right). \end{align*} Or, en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, on a \begin{align*} \exp\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac 1{n!}\left(\sum_{k=1}^p \frac{z^k}k\right)^n\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty}b_n z^n \end{align*} où les termes $b_n$ sont obtenus en développant les puissances et en regroupant les termes de même degré. Puisque tous les coefficients sont positifs, en effectuant des produits et en regroupant les termes, on obtient des termes positifs et donc $b_n\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb N.$ On en déduit, en posons $a_n=-b_{n-p}$ pour $n\geq p,$ le résultat demandé.
2. Par intégration, on sait que $$W_p(z)=W_p(0)+\sum_{n\geq p}\frac{a_n}{n+1}z^{n+1}$$ avec $W_p(0)=1$. Donc $$1-W_p(z)=\sum_{n\geq p}\frac{-a_n}{n+1}z^n+1=z^{p+1}\sum_{n\geq 0}\frac{-a_{n+p}}{n+p+1}z^n$$ ce qui donne le résultat voulu avec $$\varphi(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{-a_{n+p}}{n+p+1}z^n.$$ La fonction $\varphi$ est bien une fonction entière (par exemple car le rayon de convergence de la série entière est bien égal à $+\infty$) et on a $\varphi(1)=1-W_p(1)=1.$
3. Écrivons $\varphi(z)=\sum_{n\geq 0}c_n z^n$ où $c_n\geq 0$. Alors, pour tout $z\in\mathbb C$ tel que $|z|\leq 1,$ on a $$|\varphi(z)|\leq\sum_{n=0}^{+\infty}c_n |z|^n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}c_n=\varphi(1)=1.$$ Ainsi, $$|W_p(z)-1|\leq |z|^{p+1}|\varphi(z)|\leq 1.$$
Soit $K$ un compact de $\mathbb C$ et $M>0$ tel que, pout tout $z\in K,$ $|z|\leq M.$ alors pour tout $z\in K,$ on a $$\left|\left(\frac z{\lambda_n}\right)^{n+1}\right|\leq \left(\frac{M}{|\lambda_n|}\right)^{n+1}.$$ Or, la suite $(|\lambda_n|)_n$ tend vers $+\infty,$ et donc il existe un entier $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N,$ $|\lambda_n|\geq 2M.$ Ainsi, pour $n\geq N,$ on a pour tout $z\in K,$ $$\left|\left(\frac z{\lambda_n}\right)^{n+1}\right|\leq\frac 1{2^{n+1}}$$ qui est le terme général d'une série numérique convergente. Ceci prouve la convergence normale de la série $\sum_{n\geq 1}\left(\frac{z}{\lambda_n}\right)^{n+1}$ sur tous les compacts de $\mathbb C.$
Il suffit de démontrer que la série $\sum_n \left(W_n\left(\frac z{\lambda_n}\right)-1\right)$ converge normalement sur tous les compacts de $\mathbb C.$ Soit $K$ un tel compact et $M>0$ tel que $|z|\leq M$ pour tout $z\in K$. Soit $N\in\mathbb N$ tel que $|\lambda_n|\geq M$ si $n\geq N.$ Alors $|z/\lambda_n|\leq 1$ pour tout $z\in K$ et tout $n\geq N$ et en utilisant le résultat de la question 2, on trouve $$\left|W_n\left(\frac{z}{\lambda_n}\right)-1\right|\leq \left|\frac z{\lambda_n}\right|^{n+1}.$$ La convergence normale se prouve alors comme à la question précédente. Ainsi, par convergence normale de produits de fonctions holomorphes, $f$ est holomorphe. De plus les zéros de $f$ sont la réunion des zéros des $W_n(./\lambda_n),$ comptés avec multiplicité. Mais $W_n(z/\lambda_n)=0$ si et seulement si $z=\lambda_n$. Ainsi, les zéros de $f$ sont bien les $\lambda_n$, c'est-à-dire les $z_n$ de multiplicité $m_n$ chacun.
Une fonction méromorphe sur un ouvert $\mathcal U$ admet un nombre fini de pôles dans tout compact contenu dans $\mathcal U.$ Ainsi, la suite $(|z_n|)$ doit tendre vers $+\infty$ sinon elle admettrait une sous-suite bornée, contredisant la propriété précédente. Fixons $n\in\mathbb N$. Alors on sait que $$g(z)\sim_{z_n}\frac{a_n}{(z-a_n)^{m_n}}$$ pour un certain $a_n\in\mathbb C^*$ tandis que $$f(z)\sum_{z_n}b_n(z-a_n)^{m_n}$$ pour un certain $b_n\in\mathbb C^*$ Ainsi, la fonction $g\times f$ tend vers $a_nb_n$ en $z_n$ : elle possède donc une fausse singularité en $z_n$, et elle se prolonge donc en une fonction holomorphe au voisinage de chaque $z_n$, donc en une fonction entière. On a ainsi prouvé que toute fonction méromorphe sur $\mathbb C$ est le quotient de deux fonctions entières.

Exercices corrigés - Suites, séries, intégrales et produits infinis de fonctions holomorphes et méromorphes