Exercices corrigés - Grands théorèmes : principe du maximum, application ouverte, théorème de Schwarz

Soit $w\in\mathbb C$ tel que $|w|=1.$. On peut écrire $w=e^{i\theta}$ avec $\theta\in\mathbb R.$ On a alors $$\varphi(w)=\frac{6e^{i\theta}-5i}{6+5e^{i\theta}}=e^{i\theta}\frac{6-5ie^{-i\theta}}{6+5ie^{i\theta}}=e^{i\theta}\times \frac{\bar u}{u}$$ où $u=6+5e^{i\theta}$. En particulier, $|\varphi(w)|=1.$ Par le principe du maximum, pour tout $z\in D(0,1),$ $|\varphi(z)|\leq 1.$ De plus, s'il existe $z_0\in D(0,1)$ tel que $|\varphi(z_0)|=1,$ alors $|\varphi|$ admet un maximum local dans l'ouvert connexe $D(0,1)$. En particulier, elle doit être constante, ce qui n'est pas le cas. Donc $|\varphi(z)|<1$ pour tout $z\in D(0,1)$.

Puisque $e^{z-1}$ ne s'annule pas, la fonction $g$ définie par $g(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$ est holomorphe sur le même ouvert que $f$. De plus, on sait que $|g(z)|\leq 1$ si $|z|=1$. On peut appliquer le principe du maximum à $g$ et on trouve que, pour tout $z\in D(0,1)$, $|g(z)|\leq 1$. Ceci entraîne que, pour tout $z\in D(0,1)$, on a $$|1-f(z)|\leq |e^{z-1}|.$$ En particulier, en $0$, on a $$|1-f(0)|\leq e^{-1}\leq \frac{1}2.$$ On en déduit que $f(0)$ appartient au cercle de centre $1$ et de rayon $1/2$, et donc que l'on a bien $\frac 12\leq |f(0)|\leq \frac 32$.

Raisonnons par l'absurde et supposons que $f$ ne s'annule pas dans $\Omega$. Alors la fonction $g=1/f$ est holomorphe dans $\Omega$ et $|g|$ admet un maximum local dans $\Omega$ (au point où $|f|$ admet un minimum local). D'après le principe du maximum, $g$ est constante ce qui est une contradiction.

Remarquons que $\Omega$ est stable par $z\mapsto -z$ et $z\mapsto iz,$ puis que, si $z\in C_1$, alors $iz\in C_2$, $-z\in C_3$ et $-iz\in C_4.$ Posons alors $g(z)=f(z)f(-z)f(iz)f(-iz).$ Alors la remarque précédente prouve que, pour tout $z\in\partial \Omega,$ on a $$|g(z)|\leq m_1\times m_2\times m_3\times m_4.$$ Le principe du maximum appliqué à $g$ entraine que $$|g(0)|\leq m_1\times m_2\times m_3\times m_4.$$ C'est exactement le résultat voulu, puisque $|g(0)|=|f(0)|^4.$

Supposons que $f$ n'est pas bornée. Alors, pour tout $n\in\mathbb N,$ il existe $z_n\in\bar\Omega$ tel que $|f(z_n)|\geq n.$ Puisque $\lim_{|z|\to+\infty}|f(z)|=0$, la suite $(z_n)$ est bornée. Elle admet une sous-suite $(z_\phi(n))$ qui converge vers $a\in \overline\Omega.$ Mais alors, par continuité de $|f|$, $|f(z_{\phi(n)})|\to |f(a)|$ ce qui est une contradiction.
Ainsi, $f$ est bornée, et le raisonnement précédent prouve en outre que, si $f\neq 0,$ il existe $a\in \overline\Omega$ tel que $|f(a)|=\sup_{\overline\Omega}|f|.$ Supposons que $a\in\Omega$. Soit $V$ la composante connexe de $\Omega$ contenant $a$. Alors par le principe du maximum, $f$ est constante dans un voisinage de $a,$ donc sur $V$ tout entier. Considérons maintenant $w\in\partial V.$ Alors $$\sup_{\overline\Omega}|f|=|f(a)|=|f(w)|=\sup_{\partial \Omega}|f|.$$

Puisque $f$ et $g$ ne s'annulent pas dans le disque unité noté $D$, les fonctions $f/g$ et $g/f$ y sont holomorphes. Par le principe du maximum, on a $$\sup_{z\in D}\left|\frac{f(z)}{g(z)}\right|\leq \sup_{|w|=1}\left|\frac{f(w)}{g(w)}\right|=1.$$ De même, $\sup_{z\in D}\left|\frac{g(z)}{f(z)}\right|\leq 1$, et donc $f/g$ est une fonction holomorphe de module constant égal à 1 dans $D$. Puisqu'une fonction holomorphe de module constant dans un ouvert connexe est constante, d'après le théorème de l'image ouverte, on en déduit que $f/g$ est constante dans $D$, et par suite dans tout l'ouvert connexe $\Omega$.
Si on ne suppose plus que $f$ et $g$ ne s'annulent pas, alors les fonctions $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$ constituent des contre-exemples à la propriété demandée.

Soit $g$ la fonction holomorphe sur $\Omega$ définie par $g=e^{if}$. Alors $$|g(z)|\leq |e^{if(z)}|=e^{-\Im m(f(z))}.$$ Ainsi, on en déduit que $|g(z)|\leq 1$ si $|z|=1$, puisque $\Im m(f(z))$ est alors égal à 0. Par le principe du maximum, on en déduit que $|g(z)|\leq 1$ pour tout $z$ dans le disque unité $D$. Si on revient à la fonction $f$, cela signifie que $\Im m(f(z))\geq 0$ pour tout $z\in D$. De même, posons $h(z)=e^{-if(z)}$. On peut effectuer exactement le même raisonnement avec $h$, et on trouve alors que $\Im m(f(z))\leq 0$ pour tout $z\in D$. De cela, on tire que $\Im m(f(z))=0$ sur $D$, et donc que $f$ est à valeurs réelles dans $D$. Par le théorème de l'application ouverte, ceci implique que $f$ est constante dans $D$. Par application du principe du prolongement analytique dans l'ouvert connexe $\Omega$, on en déduit que $f$ est constante sur $\Omega$.
Remarquons qu'on démontre ici un type d'application classique du principe du maximum. Si $f$ est à valeurs réelles dans un ouvert, elle y est constante. Le principe du maximum permet de n'avoir une hypothèse que sur la frontière de l'ouvert.

Soit $\veps>0$, et fixons $r>0$ tel que $\overline{D(a,r)}\subset U$. Il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $z\in U$ et tout $n\geq n_0$, alors $$|f_n(z)|\leq r\veps.$$ Pour $z\in U\backslash D(a,r)$, on a $|z-a|\geq r$ et donc $$|g_n(z)|\leq \frac{|f_n(z)|}{|z-a|}\leq \frac{r\veps}{r}=\veps.$$ Cette inégalité est en particulier vraie sur le cercle $C(a,r)$ donc, par le principe du maximum, dans $D(a,r)$. En conclusion, on a prouvé que pour tout $z\in U$ et tout $n\geq n_0$, on a $|g_n(z)|\leq\veps$ ce qui prouve la convergence uniforme de $g_n$ vers 0.

On commence par remarquer que les fonctions constantes à valeurs dans $\Omega$ sont solutions. Si $f$ est solution et n'est pas constante, posons $U=f(\Omega)$. Alors $U$ est ouvert et, pour tout $w\in U,$ il existe $z\in \Omega$ tel que $w=f(z)$. Mais alors $$f(w)=f\circ f(z)=f(z)=w.$$ Ainsi, $f$ et l'identité coïncident sur l'ouvert non-vide $U$. Par le principe du prolongement analytique (rappelons que $\Omega$ est connexe), $f$ est égale à l'identité.

Par le lemme de Schwarz, appliqué à $f\circ f$ puis à $f,$ on sait que pour tout $z\in\mathbb C,$ $$|z|=|f\circ f(z)|\leq |f(z)|\leq |z|.$$ Il y a donc égalité partout et donc $|f(z)|=|z|$. Par le cas d'égalité dans le lemme de Schwarz, on sait que $f$ est une homothétie : il existe $\theta\in\mathbb R$ tel que, pour tout $z\in\mathbb D,$ $f(z)=e^{i\theta}z$. On a alors $f\circ f(z)=e^{2i\theta}z$ et donc on doit avoir $e^{2i\theta}=1.$ Ainsi, on a ou bien $f(z)=z$ ou bien $f(z)=-z$ pour tout $z\in\mathbb C.$ Réciproquement, ces deux fonctions sont bien des involutions analytiques de $\mathbb D$ vérifiant $f(0)=0$.