Exercices corrigés - Intégrales à paramètres

Démontrer que $\displaystyle F:x\mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(x^2t^2)}{1+t^2}dt$ est définie et continue sur $\mathbb R$.
Démontrer que $\displaystyle G:x\mapsto \int_0^{+\infty}\sin(x^2t^2)e^{-xt}dt$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.

Exercice 2 - Une intégrale à paramètres de classe $\mathcal C^\infty$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $\displaystyle F:x\mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{1+t^2}dt.$
Montrer que $F$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $D\backslash\{0\}$.

Exercice 3 - Calcul d'une intégrale impropre par dérivation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}te^{-t}dt.$$

Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb R$.
Justifier que $F$ est $\mathcal C^1$ et donner une expression de $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
Calculer $F'(x)$.
En déduire une expression simplifiée de $F(x)$.

Exercice 4 - Un exemple ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $f(x)=\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt$.

Déterminer le domaine de définition de $f$.
Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
Calculer $f(x)+f(x+1)$ pour tout $x>0$.
En déduire un équivalent de $f$ en $0$.
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

Exercice 5 - Fraction rationnelle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\geq 1$ et $x>0$, on pose $$I_n(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^n}.$$

Justifier l'existence de $I_n(x)$.
Calculer $I_1(x)$.
Démontrer que $I_n$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et former une relation entre $I'_n(x)$ et $I_{n+1}(x)$.
En déduire qu'il existe une suite $(\lambda_n)$ telle que, pour tout $x>0$, on a $$I_n(x)=\frac{\lambda_n}{x^{2n-1}}.$$ Que vaut $\lambda_n$?

Exercice 6 - Solution d'une équation différentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}dt$.

Démontrer que $F$ est définie sur $]0,+\infty[$.
Justifier que $F$ tend vers $0$ en $+\infty$.
Démontrer que $F$ est solution sur $]0,+\infty[$ de l'équation $y''+y=\frac 1x$.

Exercice 7 - Comportement au bord! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x>0$, on définit $$f(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(t)}{t+x}dt.$$

Justifier que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]0,+\infty[$, et étudier les variations de $f$.
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
En utilisant $1-\frac {t^2}2\leq \cos t\leq 1$, valable pour $t\in[0,\pi/2]$, démontrer que $$f(x)\sim_{0^+}-\ln x.$$
Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.

Posons $u(x,t)=\frac{\cos(t)}{t+x}$, définie et continue sur $]0,+\infty[\times [0,\pi/2]$. Pour tout $x\in\mathbb R_+^*$, la fonction $t\mapsto u(x,t)$ est intégrable sur $[0,\pi/2]$ (c'est une fonction continue sur un segment). Cette fonction admet une dérivée partielle par rapport à $x$ donnée par $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=\frac{-\cos(t)}{(t+x)^2}.$$ Cette dérivée partielle est elle-même continue sur $]0,+\infty[\times [0,\pi/2]$. De plus, fixons $[a,b]\subset ]0,+\infty[$ (en particulier, $a>0$). Alors pour tout $x\in [a,b]$ et tout $t\in [0,\pi/2]$, on a $$\left| \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right|\leq \frac{1}{(a+t)^2}$$ et cette dernière fonction est intégrable sur $[0,\pi/2]$. Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, on en déduit que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et que $$f'(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{-\cos(t)}{(t+x)^2}dt\leq 0.$$ Ainsi, $f$ est décroissante sur $]0,+\infty[$.
Il n'est pas besoin d'appliquer un théorème sophistiqué. Ici, on a en effet $$0\leq f(x)\leq\int_0^{\pi/2}\frac{1}{t+x}dt=\ln\left(\frac{x+\pi/2}x\right)\to 0.$$ Par le théorème d'encadrement, $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Par encadrement, on a donc $$\int_0^{\pi/2}\frac 1{t+x}dt-\frac12\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq f(x)\leq \int_0^{\pi/2}\frac 1{t+x}dt,$$ soit $$-\ln(x)+\ln(x+\pi/2)-\frac12\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq f(x)\leq -\ln(x)+\ln(x+\pi/2).$$ Le seul terme qui pose encore problème est l'intégrale. Mais, on remarque que $$\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq \int_0^{\pi/2}\frac{t^2}tdt=\frac{\pi^2}8.$$ Il vient $$-\ln(x)+\ln(x+\pi/2)-\frac{\pi^2}{16}\leq f(x)\leq -\ln(x)+\ln(x+\pi/2).$$ Il suffit ensuite de diviser par $-\ln x$ et de faire tendre $x$ vers 0 pour en déduire le résultat voulu.
Il suffit d'encadrer le plus simplement possible le dénominateur. En effet, on a $$\int_0^{\pi/2}\frac {\cos t}{x+\pi/2}dt\leq f(x)\leq \int_0^{\pi/2}\frac {\cos t}{x}dt.$$ Il vient $$\frac{1}{x+\pi/2}\leq f(x)\leq \frac 1x$$ et donc $$f(x)\sim_{+\infty}\frac 1x.$$

Exercice 8 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $a,b>0$. On définit, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$

Justifier l'existence de $F(x)$.
Prouver que $F$ est $C^1$ sur $\mathbb R$ et calculer $F'(x)$.
En déduire qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\frac 12\ln\left(\frac{b^2+x^2}{a^2+x^2}\right)+C.$$
Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R^*$, on a $$F(x)=-\frac1x\int_0^{+\infty}\psi'(t)\sin(xt)dt,$$ où $\psi(t)=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t$.
En déduire la valeur de $C$.

Exercice 9 - Calcul d'une intégrale par dérivation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x\in\mathbb R,$ on pose $\displaystyle f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.

Démontrer que, pour tout $u\in\mathbb R,$ $|e^{iu}-1|\leq |u|.$
Démontrer que $f$ est dérivable, puis en déduire une expression de $f$ sans le signe intégrale.

Exercice 10 - Une fonction définie par une intégrale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $$\gamma(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)}dt.$$

Justifier que $\gamma$ est définie sur $\mathbb R$.
Démontrer que $\gamma$ est continue sur $\mathbb R$.
Etablir la relation suivante : pour tout $x\in\mathbb R$, \[ \gamma(x)=1-4x\int_0^{+\infty}\frac{\sin(2xt)}{1+e^{2t}}dt. \]
En déduire que, pour tout $x\in\mathbb R$, \[ \gamma(x)=1+2x^2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k^2+x^2}. \]

La fonction $\cosh$ ne s'annulant pas sur $\mathbb R$, pour tout $x\in\mathbb R$, la fonction $t\mapsto \frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)}$ est définie sur $[0,+\infty[$. De plus, on a, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $t\geq 0$, \[ \left | \frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)} \right| \leq \frac{1}{e^{2t}}=e^{-2t}. \] Puisque la fonction $t\mapsto e^{-2t}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$, l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}\frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)}dt$ est convergente et la fonction $\gamma$ est définie sur $\mathbb R$.
Nous allons appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètres. La fonction $(x,t)\mapsto \frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)}$ est continue sur $\mathbb R\times [0,+\infty[$. De plus, nous avons prouvé que pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $t\geq 0$, on a \[ \left | \frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)} \right|\leq e^{-2t}, \] et cette dernière fonction est intégrable sur $[0,+\infty[$. Donc la fonction $\gamma$ est continue sur $\mathbb R$.
On commence par remarquer que \[ \cosh^2(t)=\left(\frac{e^t+e^{-t}}2\right)^2 =\frac{e^{-2t}}4\times (e^{2t}+1)^2 \] et donc \[ \gamma(x)=\int_0^{+\infty} 2 \cos(2tx)\frac{2e^{2t}}{(e^{2t}+1)^2}. \] Effectuons une intégration par parties en posant $$u(t)=\frac{-1}{e^{2t}+1}\textrm{ et }v(t)=2\cos(2tx)$$ de sorte que $$u'(t)=\frac{2e^{2t}}{(e^{2t}+1)^2}\textrm{ et }v'(t)=-4x\sin(2tx). $$ Puisque $u(t)v(t)\xrightarrow{t\to+\infty}0$ et que $uv'$ et $u'v$ sont intégrables sur $[0,+\infty[$ (il faut encore le justifier pour $uv'$...), la formule d'intégration par parties donne, pour tout $x\in\mathbb R$, \begin{align*} \gamma(x)&= \left[ u(t)v(t) \right]_0^{+\infty}-4x\int_0^{+\infty}\frac{1}{e^{2t}+1}\sin(2tx)dt\\ &=1-4x\int_0^{+\infty}\frac{1}{e^{2t}+1}\sin(2tx)dt. \end{align*}
On commence par écrire que, pour tout $t>0$, \begin{align*} \frac{1}{1+e^{2t}}&=\frac{e^{-2t}}{1+e^{-2t}} \\ &= e^{-2t}\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k (e^{-2t})^k\\ &=-\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k e^{-2kt}. \end{align*} Fixons ensuite $x\in\mathbb R$. On calcule \begin{align*} \int_0^{+\infty}\sin(2xt)e^{-2kt}dt&=\Im m\left(\int_0^{+\infty} e^{(-2k+2ix)t}dt\right)\\ &=\Im m \left(\frac{-1}{-2k+2ix}\right)\\ &=\Im m \left(\frac{2k+2ix}{4(k^2+x^2)}\right)\\ &= \frac{x}{2(k^2+x^2)} \end{align*} On peut donc conclure si on peut permuter la somme et l'intégrale. C'est un peu délicat. Posons (à $x$ toujours fixé) $f_N(t)=\sum_{k=1}^N (-1)^k e^{-2kt}\sin(xt)$. On souhaite prouver que $$\lim_{N\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_N(t)dt=\int_0^{+\infty}\lim_{N\to+\infty}f_N(t)dt.$$ Pour cela, il suffit de remarquer que \begin{align*} |f_N(t)|&\leq \left|\sum_{k=1}^N (-1)^k e^{-2kt}\right|\\ &\leq \left|\frac{e^{-2t}-(-1)^{N+1}e^{-2(N+1)t}}{1+e^{-2t}}\right|\\ &\leq \frac{2e^{-2t}}{1+e^{-2t}}\\ &\leq \frac{2}{1+e^{2t}}. \end{align*} Or cette dernière fonction est intégrable sur $[0,+\infty[$, et donc on peut appliquer le théorème de convergence dominée qui nous permet de conclure que $$\gamma(x)=1+2x^2\sum_{k\geq 1} \frac{(-1)^k}{k^2+x^2}. $$

Exercice 11 - Complet... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}.$$

Déterminer le domaine de définition de $F$ et démontrer que $F$ est continue sur ce domaine de définition.
Démontrer que $F$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]1,+\infty[$ et démontrer que, pour tout $x>1$, $$F'(x)=\int_1^{+\infty}\frac{t^x\ln (t)}{(1+t^x)^2}\left(\frac 1{t^2}-1\right)dt.$$ En déduire le sens de variation de $F$.
Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
On suppose que $F$ admet une limite $\ell$ en $1^+$. Démontrer que pour tout $A>1$ et tout $x>1$, on a $$\ell\geq \int_1^A \frac{dt}{1+t^x}.$$
En déduire que $\lim_{x\to 1^+}F(x)=+\infty$.

Remarquons pour commencer que, pour tout $x\in\mathbb R$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{1+t^x}$ est continue sur $]0,+\infty[$. On doit juste traiter le problème au voisinage de $+\infty$. Mais, si $x<0$, $t^x$ tend vers 0 lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Ainsi, $$\frac1{1+t^x}\to_{t\to+\infty} 1$$ et l'intégrale impropre ne converge pas au voisinage de $+\infty$. Si $x=0$, la fonction est constante et son intégrale ne converge pas. Enfin, si $x>0$, on a $$\frac1{1+t^x}\sim_{+\infty}\frac 1{t^x}.$$ Puisque l'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac1{t^x}$ converge si et seulement si $x>1$, et par comparaison à une fonction positive, l'intégrale est convergente si et seulement si $x>1$. Autrement dit, le domaine de définition de $f$ est $]1,+\infty[$. Fixons ensuite $[a,b]\subset ]1,+\infty[$. Alors si $x\in [a,b]$, on a pour tout $t\in [0,1]$, $$0\leq \frac{1}{1+t^x}\leq \frac 1{1+t^b}.$$ De même, si $t\geq 1$, $$0\leq \frac 1{1+t^x}\leq \frac{1}{1+t^a}.$$ La fonction $t\mapsto \frac 1{1+t^b}$ étant intégrable sur $[0,1]$ et la fonction $t\mapsto \frac 1{1+t^a}$ étant intégrable sur $[1,+\infty[$, on déduit du théorème de continuité des intégrales à paramètres que $f$ est continue sur $]1,+\infty[$.
Posons $u(x,t)=\frac{1}{1+t^x}$, définie sur $]1,+\infty[\times]0,+\infty[$. Alors $u$ admet une dérivée partielle par rapport à $x$ définie sur $]1,+\infty[\times]0,+\infty[$ et donnée par $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=\frac{-t^x \ln t}{(1+t^x)^2}.$$ Cette dérivée partielle est continue des deux variables. Si on utilise $$\left|\frac{t^x}{(1+t^x)^2}\right|\leq \frac{1+t^x}{(1+t^x)^2}=\frac{1}{1+t^x}$$ on trouve que, pour tout $[a,b]\subset\mathbb R$ et tout $x\in [a,b]$, on a $$\left|\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right|\leq \frac {|\ln t|}{1+t^b}$$ si $t\in ]0,1[$ et $$\left|\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right|\leq \frac{|\ln t|}{1+t^a}$$ si $t\geq 1$. La fonction $t\mapsto \frac {\ln t}{1+t^b}$ étant intégrable sur $[0,1]$ et la fonction $t\mapsto \frac {\ln t}{1+t^a}$ étant intégrable sur $[1,+\infty[$, on déduit du théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres que $f$ est $\mathcal C^1$ sur $]1,+\infty[$ et que, pour tout $x>1$, $$f'(x)=\int_0^{+\infty}\frac{-t^x \ln t}{(1+t^x)^2}.$$ Pour obtenir la formule demandée par l'énoncé, on coupe l'intégrale en deux, entre 0 et 1 et entre 1 et $+\infty$, puis on fait le changement de variables $u=1/t$ dans la première intégrale. Puisque pour tout $t>1$ et tout $x>1$, $$\frac{t^x\ln (t)}{(1+t^x)^2}\left(\frac 1{t^2}-1\right)\leq 0$$ on en déduit que $f$ est décroissante sur $]1,+\infty[$.
On va séparer l'étude de l'intégrale entre 0 et 1 et entre 1 et $+\infty$. On a d'une part, pour tout $t\in ]0,1[$, $$\lim_{x\to +\infty}\frac 1{1+t^x}=1.$$ De plus, pour tout $t\in ]0,1[$ et tout $x>0$, $$\left|\frac 1{1+t^x}\right|\leq 1$$ et $1$ est intégrable sur $]0,1[$. Ainsi, par le théorème de convergence dominée, on a $$\lim_{x\to+\infty}\int_0^1 \frac{1}{1+t^x}dt=\int_0^1 1dt=1.$$ Pour l'intégrale entre $1$ et $+\infty$, on peut également utiliser le théorème de convergence dominée, ou plus simplement on peut majorer : pour $x>1$ et $t\geq 1$, on a $$0\leq \frac1{1+t^x}\leq \frac 1{t^x}.$$ On intègre cette inégalité entre $1$ et $+\infty$, et on trouve $$0\leq \int_1^{+\infty}\frac 1{1+t^x}dt\leq \int_1^{+\infty}\frac{1}{t^x}=\frac 1{x-1}.$$ Par le théorème des gendarmes, $$\lim_{x\to+\infty}\int_1^{+\infty}\frac 1{1+t^x}dt=0.$$ Finalement, on en conclut que $F$ tend vers $1$ en $+\infty$.
Si $F$ admet une limite $\ell$ en $1^+$, alors puisque $F$ est décroissante, pour tout $x>1$, on a $$F(x)\leq \ell.$$ Mais comme on intègre une fonction positive, on en déduit que, pour tout $A>1$, on a $$\int_1^A \frac{1}{1+t^x}dt\leq F(x)\leq \ell.$$
Faisons tendre $x$ vers $1$ dans l'inégalité précédente. Puisque, pour tout $t\in [1,A]$, $\frac{1}{1+t^x}$ tend vers $\frac 1{1+t}$ lorsque $x$ tend vers $1$, et que $$\left|\frac 1{1+t^x}\right|\leq 1$$ pour tout $t\in [1,A]$ et $x>1$, avec $1$ fonction intégrable sur le segment $[1,A]$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée et on obtient $$\int_1^A \frac{dt}{1+t}\leq \ell.$$ Ceci est vérifié pour tout $A>1$. Puisque $t\mapsto \frac 1{1+t}$ est positive sur $[1,A]$, on en déduit que l'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t}$ est convergente. Ceci est faux par comparaison à une intégrale de Riemann divergente.
C'est donc que l'hypothèse que $F$ admet une limite finie $\ell$ en $1^+$ est fausse. Mais $F$ est décroissante, et donc admet une limite en $1^+$ qui peut être finie ou égale à $+\infty$. On en déduit que $\lim_{x\to1^+}F(x)=+\infty$.

Exercice 12 - Transformée de Fourier de la gaussienne ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose, pour $a>0$, $F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}e^{-at^2}dt$.

Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F'(x)=\frac{-x}{2a}F(x).$$
En déduire que pour tout $x$ réel, $F(x)=F(0)e^{-x^2/4a}$, puis que $$F(x)=\sqrt\frac\pi ae^{-x^2/4a}.$$

On rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt \pi$.

Exercice 13 - Calcul de l'intégrale de Gauss ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Le but de l'exercice est de calculer la valeur de l'intégrale de Gauss $$I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt.$$ On définit deux fonctions $f,g$ sur $\mathbb R$ par les formules $$f(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt\textrm{ et }g(x)=\int_0^{1}\frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}dt.$$

Prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)+f^2(x)=\frac{\pi}{4}.$
En déduire la valeur de $I$.

Exercice 14 - Calcul de l'intégrale de Gauss ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt.$$

Montrer que $F$ est définie et continue sur $[0,+\infty[$ et déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
Montrer que $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et démontrer que $$F'(x)=-\frac{e^{-x}}{\sqrt x}\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du.$$
En intégrant $F'$ sur $]0,+\infty[$, montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt \pi}2.$

Exercice 15 - Fonction de Bessel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ définie par $$f(x)=\int_0^\pi \cos(x\sin\theta)d\theta.$$

Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R$.
Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $$xf''(x)+f'(x)+xf(x)=0.$$
Démontrer que $f$ est développable en série entière.

Exercice 16 - Fonction gamma ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x\in\mathbb R$, on définit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$.

Quel est le domaine de définition de $\Gamma$?
1. Pour $k\geq 1$ et $0<A<B<+\infty$, on pose $$g_k(t)=\left\{\begin{array}{ll} t^{A-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }0<t<1\\ t^{B-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }t\geq 1. \end{array}\right. $$ Démontrer que $g_k$ est intégrable sur $]0,+\infty[$.
2. En déduire que $\Gamma$ est $C^\infty$ sur son domaine de définition, et calculer $\Gamma^{(k)}$.
Montrer que pour tout $x>0$, $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En déduire $\Gamma(n+1)$ pour $n$ un entier et un équivalent de $\Gamma$ en $0$.
Montrer que $\Gamma$ est convexe.
1. Justifier que, pour tout $u<1$, $\ln(1-u)\leq -u$.
2. Pour $x>0$, on pose $$f_n(t):=\left\{ \begin{array}{ll} t^{x-1}(1-t/n)^n&\textrm{ si }t\in]0,n[\\ 0&\textrm{ si }t\geq n. \end{array}\right.$$ Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt=\Gamma(x).$
En déduire que pour $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}n^x\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du.$$
En utilisant des intégrations par parties successives, conclure que, pour tout $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\dots(x+n)}.$$

Remarquons d'abord que la fonction $t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ est continue sur $]0,+\infty[$. D'autre part, en 0, elle est équivalente à $t^{x-1}$ qui, par le critère de Riemann, est intégrable en $0$ si et seulement si $x>0$. Au voisinage de $+\infty$, la fonction est toujours intégrable. En effet, si $t$ est assez grand, on a $$0\leq t^{x-1}e^{-t}\leq\frac1{t^2}$$ et on conclut à l'intégrabilité par le théorème de majoration. On a donc prouvé que le domaine de définition de $\Gamma$ est $]0,+\infty[$.
1. La fonction $g_k$ est continue sur $]0,+\infty[$. Au voisinage de $+\infty$, le problème de convergence se traite comme précédemment. Au voisinage de 0, on a $$g_k(t)\sim -t^{A-1}\ln t$$ et il s'agit d'une intégrale de Bertrand. On a $A-1>-1$. On peut trouver $c$ dans l'intervalle $]-1,A-1[$. On a alors $$g_k(t)=_0o\left(t^{c}\right)$$ et ceci est une intégrale de Riemann convergente (en 0).
2. Posons $f(t,x)=t^{x-1}e^{-t}.$ Alors $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[^2$, et $$\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(t,x)=(\ln t)^k t^{x-1}e^{-t}.$$ Soit $0<A\leq B$ et $x\in [A,B]$. Pour $t\leq 1$, on a $$|(\ln t)^k t^{x-1}e^{-t}|\leq |\ln t|^k t^{A-1} e^{-t},$$ et d'autre part, pour $t\geq 1$, on a $$|(\ln t)^k t^{x-1}e^{-t}|\leq |\ln t|^k t^{B-1} e^{-t}.$$ D'après la question précédente, on a majoré les dérivées partielles par rapport à $x$ indépendamment de $x\in[A,B]$ par une fonction intégrable. Par application du théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres, $\Gamma$ est de classe $C^\infty$ sur n'importe quel segment $[A,B]\subset]0,+\infty[$, donc sur $]0,+\infty[$, et $$\Gamma^{(k)}(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^k t^{x-1}e^{-t}dt.$$
On intègre par parties, et on trouve : $$\Gamma(x+1)=[-t^{x}e^{-t}]_0^{+\infty}+x\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x).$$ Puisque $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1$, on en déduit par une récurrence immédiate que $\Gamma(n+1)=n!$. Enfin, pour $x$ proche de 0, on a $$\Gamma(x)\sim_0 \frac{\Gamma(x+1)}{x}\sim_0 \frac{\Gamma(1)}x\sim_0\frac 1x.$$
On a déjà calculé la dérivée seconde de $\Gamma$ : $$\Gamma''(x)=\int_0^{+\infty} (\ln t)^2 t^{x-1}e^{-t}dt.$$ Comme la fonction que l'on intègre est positive, il en est de même de l'intégrale. $\Gamma$ est donc convexe puisque sa dérivée seconde est positive.
1. La fonction $t\mapsto \ln(1+t),$ définie sur $]-1,+\infty[,$ étant concave, sa courbe représentative est sous ses tangentes, en particulier sous la tangente passant par le point $(0,\ln 1)$ d'équation $y=t$. On en déduit le résultat.
2. Observons d'abord que $$f_n(t)\to f(t)=t^{x-1}e^{-t}\textrm{ quand }n\to+\infty.$$ En effet, $$\left(1-\frac tn\right)^n=\exp\left(n\ln\big(1-t/n\big)\right)\to e^{-t}.$$ D'autre part, pour tout $n\geq 1$ et tout $t\in]0,n]$, on a, d'après la question précédente appliquée à $u=t/n,$ $$0\leq f_n(t)\leq t^{x-1}e^{-t}=f(t).$$ La fonction $f$ étant intégrable sur $]0,+\infty[$ d'après la première question, on déduit du théorème de convergence dominée que $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt=\int_0^{+\infty}f(t)dt=\Gamma(x).$$
On fait le changement de variables $u=t/n$, et on trouve $$\int_0^{+\infty}f_n=\int_0^n f_n=\int_0^1 t^{x-1}(1-t/n)^ndt=n^x\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^ndu,$$ qui est le résultat voulu.
Pour $n\geq 1$, une intégration par parties donne $$\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du=\left[\frac{u^x}x(1-u)^n\right]_0^1 +n\int_0^1 \frac{u^x}x(1-u)^{n-1}du.$$ Par récurrence, on obtient \begin{eqnarray*} \int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du&=&\frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n-1)}\int_0^1 u^{x+n-1}(1-u)^0du\\ &=&\frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)}. \end{eqnarray*}

Exercice 17 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.

On remarque d'abord que $f$ est bien définie pour tout $x$. En effet, on a $$\left|\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}\right|\leq\frac{e^{-t}}{\sqrt t}.$$ Cette fonction est intégrable sur $[0,+\infty[$, car en 0 elle est équivalente à $\frac{1}{\sqrt t}$ qui est intégrable (intégrale de Riemann), et, au voisinage de $+\infty$, elle vérifie $$\left|\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\right|\leq \frac{1}{t^2}.$$ Prouvons également que $f$ est de classe $C^1$. Pour cela, on remarque que la fonction $$g:(x,t)\mapsto\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}$$ admet en tout point de $\mathbb R\times ]0,+\infty[$ une dérivée partielle par rapport à $x$ égale à $$\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)=i\sqrt te^{-t}e^{itx}.$$ De plus, on a, pour tout $x\in\mathbb R$, $$\left|\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)\right|\leq \sqrt te^{-t}$$ et la fonction apparaissant à droite dans l'inégalité précédente est intégrable sur $]0,+\infty[$ (elle est continue en 0, et au voisinage de $+\infty$, elle est négligeable devant $1/t^2$). On en déduit par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres que $f$ est dérivable, avec $$f'(x)=\int_0^{+\infty}i\sqrt te^{-t}e^{itx}.$$ On exprime le membre de droite de cette égalité en fonction de $f$ grâce à une intégration par parties, en posant $v(t)=\sqrt{t}$ et $u(t)=\frac1{ix-1}e^{(ix-1)t}$. Puisque $u(0)v(0)=0$ et $\lim_{t\to+\infty}u(t)v(t)=0$, on en déduit \begin{eqnarray*} f'(x)&=&\frac{-i}{2(ix-1)}\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt\\ &=&\frac{-i(-ix-1)}{2(x^2+1)}f(x)\\ &=&\frac{-x+i}{2(x^2+1)}f(x). \end{eqnarray*} Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation différentielle. On sait que les solutions sont les fonctions du type $$f(x)=C\exp(A(x))$$ où $C\in\mathbb R$ et $A$ est une primitive de $$x\mapsto \frac{-x+i}{2(x^2+1)}.$$ On commence par écrire $$\frac{-x+i}{2(x^2+1)}=\frac{-x}{2(x^2+1)}+\frac{i}{2(x^2+1)}$$ et on en déduit une primitive $$A(x)=\frac{-1}{4}\ln(x^2+1)+\frac{i}{2}\arctan(x).$$ Ainsi, les solutions sont les fonctions de l'équation différentielle sont les fonctions $$f(x)=C(x^2+1)^{-1/4}\exp\left(\frac i2\arctan x\right),$$ $C\in\mathbb R.$ On détermine la valeur de la constante $C$ en calculant $f(0)=C$. On a par ailleurs $$f(0)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du$$ en effectuant le changement de variables $t=u^2$. Utilisant le rappel, on trouve que $C=\sqrt{\pi}$.

Exercice 18 - Transformée de Laplace et fonctions intégrales ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue. On note $I=]0,+\infty[$ et on suppose que pour tout $x\in I,$ la fonction $t\mapsto e^{-xt}f(t)$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. On définit la transformée de Laplace $Lf:I\to\mathbb R$ par, pour tout $x\in I,$ $$Lf(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}f(t)dt.$$

Démontrer que $Lf$ est continue sur $I$.
On suppose dans cette question que $f$ est bornée sur $\mathbb R$. Démontrer que $\lim_{x\to +\infty}xLf(x)=f(0)$ (théorème de la valeur initiale).
On suppose dans cette question que $f$ admet une limite $\ell_\infty$ en $+\infty.$ Démontrer que $\lim_{x\to 0}xLf(x)=\ell_\infty$ (théorème de la valeur finale).

Exercice 19 - Transformée de Laplace et intégrales à paramètres ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R_ +\to\mathbb C$ une fonction continue. Pour $x\in\mathbb R$, on pose $Lf(x)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt.$

Montrer que si $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt$ converge, alors $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-yt}dt$ converge pour $y>x$.
Quelle est la nature de l'ensemble de définition de $Lf$?
On suppose $f$ bornée. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}Lf(x)=0$.

Exercice 20 - Norme 0 ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f$ une application définie sur $[0,1]$, à valeurs strictement positives, et continue. Pour $\alpha\geq 0$, on pose $F(\alpha)=\int_0^1 f^\alpha(t)dt$.

Justifier que $F$ est dérivable sur $\mathbb R_+$, et calculer $F'(0)$.
En déduire la valeur de $$\lim_{\alpha\to 0}\left(\int_0^1 f^{\alpha}(t)dt\right)^{1/\alpha}.$$

Exercice 21 - Division des fonctions régulières ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$.

On suppose que $f(0)=0$ et on pose, pour $x\neq 0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Justifier que, pour $x\neq 0$, $g(x)=\int_0^1 f'(tx)dt$, et en déduire que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
On suppose désormais que $f(0)=f'(0)=\dots=f^{(n-1)}(0)=0$ et on pose $g(x)=\frac{f(x)}{x^n}$, $x\neq 0$. Justifier que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.

Exercice 22 - Super-dépendance! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $I$ un intervalle, $f:I\times\mathbb R\to\mathbb R$ continue et $u,v:I\to\mathbb R$ continues. Démontrer que $F : x\mapsto \int_{u(x)}^{v(x)}f(x,t)dt$ est continue sur $I$.