Exercices corrigés - Continuité des fonctions de plusieurs variables

1. On a $$|f(x,y)|\leq |x|+|y|.$$ Puisque $|x|+|y|$ tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, $f$ admet une limite en $(0,0)$ qui est égale à $0.$
2. Non ! On a en effet, pour tout $t>0,$ $f(t,0)=1$ et $f(0,t)=-1.$ Si $f$ admettait une limite en $(0,0)$, alors puisque $\lim_{t\to 0^+}f(t,0)=1,$ cette limite devrait être égale à $1,$ et puisque $\lim_{t\to 0^+}f(0,t)=-1,$ elle devrait aussi être égale à $-1,$ ce qui est une contradiction.
3. Non ! En effet, $$\lim_{x\to 0}f(x,x)=+\infty$$ et donc $f$ ne peut pas admettre de limite en $(0,0)$.
4. On remarque que, pour tout $t>0,$ $f(t,0)=0$ alors que $f(t,t)=1/2$. Puisque $(t,0)\to 0$ et $(t,t)\to 0$ lorsque $t$ tend vers $0,$ $f$ ne peut pas admettre une limite en $(0,0)$.
5. On va majorer $|f(x,y)|$ pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$. Pour cela, on utilise $|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}$ et $|y|\leq \sqrt{x^2+y^2}.$ On en déduit que $$|f(x,y)|\leq \sqrt{x^2+y^2}.$$ Puisque $\sqrt{x^2+y^2}$ tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, on en déduit que $f$ admet pour limite $0$ en $(0,0)$.

1. Il suffit d'étudier la limite des deux fonctions coordonnées $(f_1,f_2)$. Or, $x^2+y^2-1$ tend vers -1, et $\frac{\sin x}{x}$ vers 1 si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. $f_1$ tend donc vers $-1$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. D'autre part, on a $$|f_2(x,y)|\leq \frac{|\sin(x^2)|}{x^2}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{|\sin(y^2)|}{y^2}\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Mais on a $\sin(x^2)/x^2\to 1$ quand $(x,y)\to(0,0)$, et $$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\sqrt{x^2+y^2}.$$ On en déduit que $f_2(x,y)$ tend vers $0$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$, et donc $f(x,y)$ tend vers $(-1,0)$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$.
2. Par un classique développement limité, on sait que $\frac{1-\cos(t)}{t^2}\to\frac 12$ si $t\to 0$. Maintenant, on peut écrire $$f(x,y)=x\frac{1-\cos(xy)}{(xy)^2}.$$ De la remarque précédente, on tire que $\frac{1-\cos(xy)}{(xy)^2}$ tend vers $1/2$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. On en déduit que $f(x,y)$ tend vers $0$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$.
3. Pour $t>0,$ on remarque que $$f(t,t^{2/3})=\frac{t\cdot t^{\frac 83}}{2t^4}=\frac{1}{2t^{\frac 13}}\xrightarrow{t\to 0}+\infty.$$ Ainsi, $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.
4. On va majorer $|f(x,y)|$ pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$. Pour cela, on remarque que $$|x|\leq (x^8+y^6)^{1/8}\textrm{ et }|y|\leq (x^8+y^6)^{1/6}.$$ On en déduit $$|f(x,y)|\leq \frac{(x^8+y^6)^{\frac 38+\frac 46}}{x^8+y^6}\leq (x^8+y^6)^{\frac1{24}}.$$ Puisque $(x^8+y^6)^{\frac1{24}}$ tend vers $0$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0),$ on en déduit que $f$ admet une limite en $(0,0)$ égale à $0.$

On va partir des inégalités $|x|\leq (x^2+y^2)^{1/2}$ et $|y|\leq (x^2+y^2)^{1/2}$. Ainsi, on a $$|f(x,y)|\leq (x^2+y^2)^{\frac{\alpha+\beta}2-1}.$$ Ainsi, si $\alpha+\beta>2$, $f(x,y)$ tend vers $0$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Dans le cas contraire, alors on remarque que d'une part $f(1/n,0)=0$ et donc si $f$ admet une limite en $(0,0)$, celle-ci ne peut être que nulle. Maintenant, on a $$f(1/n,1/n)=\frac 12n^{2-\alpha-\beta}.$$ Ceci ne tend pas vers 0 si $\alpha+\beta\leq 2$, et la fonction $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.

On pose $x=y=t$, et on fait tendre $t$ vers 0. On a alors $$f(t,t)=\frac{1}{2}.$$ En faisant tendre $t$ vers 0, on voit que ceci tend vers 1/2, qui n'est pas 0. La fonction $f$ n'est pas continue en $(0,0)$.

Posons $\mathcal D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;x^2+y^2<1\}$ et $\mathcal U=\{(x,y)\in\mathbb R^2; x^2+y^2>1\}$. $\mathcal D$ et $\mathcal U$ sont deux ouverts de $\mathbb R^2$ sur lesquels $f$ a une expression polynomiale. $f$ est donc continue sur $\mathcal D$ et sur $\mathcal U$. Il reste donc à vérifier la continuité de $f$ en un point $(a,b)$ tel que $a^2+b^2=1$. Soit $(a,b)$ un tel point et soit $(x_n,y_n)$ une suite qui converge vers $(a,b)$. Soit $n\geq 1$. Si $(x_n,y_n)$ est élément de $\mathcal U$, alors $f(x_n,y_n)=2x_n^2+y_n^2-1$ tandis que si ce n'est pas le cas, $f(x_n,y_n)=x_n^2$. Mais, $$2x_n^2+y_n^2-1\to 2a^2+b^2-1=a^2\textrm{ tandis que }x_n^2\to a^2.$$ On a bien $f(x_n,y_n)\to a^2=f(a,b)$, et la fonction $f$ est continue en $(a,b)$.

Remarquons déjà que le domaine de définition de $f$ est $D=\mathbb R^*\times\mathbb R^*$. Posons de plus $h:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $h(u)=\frac{\sin u}{u}$ si $u\neq 0$ et $h(0)=1$, et posons également $g:\mathbb R^2\to\mathbb R, (x,y)\mapsto xy$. Il est bien connu que la fonction $h$ est continue sur $\mathbb R$ (c'est le prolongement par continuité sur $\mathbb R$ de la fonction $x\mapsto \frac{\sin x}x$). $g$ est bien sûr continue, et donc $h\circ g$ est une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Mais, si $(x,y)\in D$, alors $f(x,y)=h\circ g(x,y)$. Ainsi, $h\circ g$ est un (le!) prolongement continu de $f$ à $\mathbb R^2$.

Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$. Si $a\neq b$, on a encore $x\neq y$ pour tout $(x,y)$ proche de $(a,b)$ et on a bien $$F(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\xrightarrow{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=F(a,b).$$ Si maintenant $a=b$, alors on remarque que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, ou bien en appliquant la définition si $x=y$, ou bien en appliquant le théorème des accroissements finis, il existe $c_{x,y}$ compris entre $x$ et $y$ tel que $$F(x,y)=f'(c_{x,y}).$$ Mais si $(x,y)\to (a,a)$, alors $c_{x,y}\to a$ et la continuité de $f'$ entraîne que $$F(x,y)\to f'(a)=F(a,a).$$ Ainsi, $F$ est aussi continue en $(a,a)$.