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Bibm@th

Mathématiques et choix économiques

Un responsable de production a toujours une question en tête : comment optimiser? L'utilisation des machines, la main d'oeuvre, les contrôles en fin de production, tout, il faut tout optimiser. Et ce, en respectant certaines contraintes relatives aux lois, à l'entretien, etc... Pour donner des solutions optimales à ce type de problèmes, les mathématiciens ont inventé plusieurs algorithmes, le plus connu étant l'algorithme du simplexe.

Un exemple "concret"

Un fabricant de vélos souhaite optimiser l'utilisation de ces machines en réalisant des cadres. Il fabrique deux cadres, C et T, et pour cela utilise 3 machines : la machine A pour assembler les tubes, la machine B pour les polir et les peindre, la machine C pour monter les suspensions. Pour fabriquer un lot de 100 cadres C ou T, il utilise ses machines de la façon suivante (les nombres représentent le temps (en heures) d'occupation des machines) :

Machine A Machine B Machine C
Cadre C 1 3 0
Cadre T 2 1 2

Il reste 60h disponibles par semaine pour la machine A, 90h pour la machine B, et 42h pour la machine C. En outre, pour un lot de 100 cadres C, le fabricant réalise 5000 euros de bénéfices, et pour un lot de 100 cadres T, il réalise 7000 euros de bénéfices. Comment doit-il utiliser ses machines dans leur temps disponible pour réaliser un bénéfice maximum?

Mathématisation du problème

On note x le nombre de lots de 100 cadres C, et y le nombre de lots de 100 cadres Y. Il faut maximiser la fonction de bénéfice :

Mais, il faut respecter les contraintes suivantes :

Résolution graphique

Les contraintes (qui forment un système d'inéquations) définissent une région du plan qui représente les x et y admissibles (=possibles). Les droites 5x+7y=p, pour différentes valeurs de p, sont des droites parallèles les unes par rapport aux autres. p, qui est la quantité à maximiser, est l'ordonnée à l'origine de ces droites. On cherche donc la droite d'ordonnée à l'origine la plus grande possible qui coupe la région admissible. L'intersection de cette droite et de la région donne un point où l'optimisation est réalisée.

Dans l'exemple du fabricant de vélo, le maximum est atteint pour x=24, et y=18, ce qui donne un bénéfice de 246000 euros.

Généralisation

Généralement, il y a beaucoup plus de contraintes, et beaucoup plus de paramètres. La méthode précédente se généralise, et s'appelle méthode du simplexe. Ce n'est pas le lieu ici pour en faire un exposé détaillé, mais le formulaire suivant doit permettre de résoudre tous les cas.