$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Pourquoi les paraboles ont-elles la forme d'une parabole?

De quoi s'agit-il?

Si vous recevez la télé ou internet par satellite, vous en avez forcément une sur votre toit. Mais au fait, pourquoi la parabole a une forme de.... parabole? Et pourquoi le petit récepteur est-il légèrement décollé du fond de la parabole???

Votre parabole, lorsqu'elle a été installée, a été orientée vers le satellite dont elle récupère les données. Ce satellite est tellement loin que, lorsque les signaux émis par le satellite arrivent sur la parabole, on peut considérer qu'ils sont parallèles, et aussi parallèles à l'axe de symétrie de la parabole (du moins si celle-ci a été bien réglée) :

Voyons maintenant ce que donne une simulation à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. On fait refléter un rayon incident, en rouge, parallèle à l'axe de la parabole, en divers points de la parabole. Le rayon réfléchi est en vert. En déplaçant le point $A,$ on observe divers rayons incidents. On constate alors que les rayon réfléchis semblent tous passer par le point $C,$ qu'on appelle foyer de la parabole.

Et si on démontrait cette propriété???

Quitte à bien choisir notre repère, on peut partir d'une parabole d'équation $$y=\frac{x^2}{2p}.$$

Un rayon incident a pour équation $x=t$, où $t$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Il coupe la parabole au point $B$ de coordonnées $(t,t^2/2p)$ et l'équation de la tangente à la parabole en ce point est : $$y-\frac{t^2}{2p}=\frac t2(x-t).$$

Par les lois de l'optique, le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la tangente au point $B$. Considérons maintenant le point $C$ de coordonnées $(p/2,0)$ et observons la figure suivante :

Il s'agit de démontrer que les angles $$\widehat{(\vec n,\vec u)}\textrm{ et }\widehat{(\overrightarrow{BC},\vec n)}$$ sont égaux. Pour cela, on va étudier s'ils ont le même cosinus (ils sont tous les deux compris entre 0 et 90°). On commence par remarquer qu'un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $$\vec T=(1,t/p)$$ ce qui donne un vecteur normal $$\vec n=(-t/p,1).$$ Le rayon incident étant dirigé par $$\vec u=(0,1)$$ on trouve $$\cos\big((\vec n,\vec u)\big)=\frac{\vec n\cdot \vec u}{\|\vec n\|\times\|\vec u\|}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{t^2}{p^2}}}.$$ D'autre part, on a $$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{-t}p,\frac p2-\frac{t^2}{2p}\right)$$ ce qui donne à son tour \begin{eqnarray*} \cos\big((\overrightarrow{BC},\vec n)\big)&=&\frac{\overrightarrow{BC}\cdot\vec n}{\|\overrightarrow{BC}\|\times\|\vec n\|}\\ &=&\frac{\frac{t^2}{2p}+\frac p2}{\sqrt{\frac{t^2}2+\frac {p^2}4+\frac{t^4}{4p}}\sqrt{1+\frac{t^2}{p^2}}}\\ &=&\frac{\frac{t^2}{2p}+\frac p2}{\left(\frac{t^2}{2p}+\frac p2\right)\sqrt{1+\frac{t^2}{p^2}}}\\ &=&\cos\big((\vec n,\vec u)\big). \end{eqnarray*} Les angles sont bien égaux!

Alors, la prochaine fois que vous regarderez votre émission préférée, dites-vous que c'est grâce à la géométrie que vous pouvez la recevoir!