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Foot et mathématiques

Coupe du monde 2098... Thierry Henrynator déborde sur l'aile, au ras de la ligne de touche! Mais il se fait méchamment tacler par un japonais. Zidanator se saisit du ballon pour taper le coup franc. Il a sa botte secrète, une technique pour surprendre le gardien et tirer directement au but. Mais pour cela, il doit profiter d'un moment de distraction de l'arbitre pour placer le ballon afin d'avoir l' angle de tir le plus grand possible. Pourrez-vous l'aider à qualifier la France????

Angle de tir...

Le dessin ci-dessous devrait vous convaincre facilement qu'il est plus facile de tirer du point C que du point D, et plus encore que du point E, pour marquer un but. En effet, l'angle $\widehat{ACB}$ est plus grand que l'angle $\widehat{ADB}$, lui-même plus grand que l'angle $\widehat{AEB}$.

Résolution mathématique

Si vous avez quelques hésitations pour comprendre certains points du raisonnement, l'explication se trouve sûrement dans le Dicomaths

Nous avons donc un point M au bord de la touche, et nous devons trouver quelle est la position ou l'angle $\widehat{AMB}$ est maximal. Par les trois points M,A,B, il passe toujours un cercle, de centre O, de rayon R. En particulier, OA=OB, donc le point O se trouve sur la médiatrice de [AB], qui est l'axe au milieu du terrain.

Appliquons le théorème de l'angle inscrit : l'angle $\widehat{AMB}$ vaut la moitié de l'angle $\widehat{AOB}$. Donc l'angle $\widehat{AMB}$ est maximal quand l'angle $\widehat{AOB}$ est maximal. Comment peut-on rendre l'angle $\widehat{AOB}$ maximal? Il est clair que le point O doit être le plus proche possible des points A et B. Mais s'il est trop près, alors le cercle de centre O, et de rayon OA=OB, ne coupe plus l'axe de la touche. La position optimale est donc obtenue quand le cercle de centre O de rayon OA est tangent à l'axe de la touche. Si l'axe médian du terrain et l'axe de touche sont à distance d, le point O vérifie donc OA=OB=d, et le point M est l'unique point du bord de touche tel que OM=d.

Vérification interactive

Vérifions donc avec la figure de géométrie interactive suivante que notre raisonnement est juste!