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Crédits, intérêts, mensualités

Je ne sais pas si vous êtes déjà allés dans une banque négocier un prêt, mais le vendeur (pardon, le conseiller financier...) vous assaille de chiffres, de taux, d'assurances, de durée, d'amortissement,etc... si bien que parfois on ne sait même pas quelle va être la mensualité, ou le coût total de ce crédit... Nous allons essayer ici de décrypter un peu comment fonctionnent les prêts, pour convertir montant emprunté+taux+durée en mensualités à rembourser.

Modélisation

Commençons par un exemple pratique : vous souhaitez emprunter 10000 euros, vous pouvez rembourser 500 euros, et vous avez réussi à négocier un taux de 6% sur l'année. Vous souhaiteriez savoir combien de temps va durer le prêt.

La quantité essentielle dans les études de prêt est la quantité qu'il reste à rembourser (qui donne lieu à la constitution des fameux tableaux d'amortissement). Notons f(k) la quantité qu'il reste à rembourser après k mois. Bien entendu, au début du prêt, nous avons f(0)=10000 : il reste tout à rembourser! Etudions ce qui se passe après un mois. Puisqu'une première mensualité de 500 euros a été versée, on pourrait croire que f(1)=9500. Que nenni, ou alors c'est que votre banquier est philantrope! Et les intérêts alors! Non, avant le remboursement, la banque prend ses intérêts sur la somme qu'il vous reste à rembourser. Puisque le taux d'intérêt est de 6% pour une année, le taux d'intérêt mensuel est de 6/12=0,5%. Vous devez donc à la banque 10000+0,5%. Rappelons-nous nos souvenirs de collège... Ajouter x%, c'est multiplier par 1+x/100. Vous devez donc à la banque 10050 euros, et après paiement de la première mensualité, il reste 9550 euros, ce qui n'est pas tout à fait la même chose... En résumé, f(1)=f(0)*1.005-500

Pour les autres mois, c'est pareil... On a une formule qui donne l'argent qu'il reste à rembourser après le (k+1)-ième mois en fonction de l'argent qu'il reste à rembourser après le k-ième mois, qui est : f(k+1)=f(k)*1.005-500. Les mathématiciens appellent cela une formule de récurrence, et plus précisément une récurrence arithmético-géométrique.

Passons au cas général. Notons C le montant total emprunté, m la mensualité, t le taux d'intérêt mensuel. On a f(k+1)=f(k)*(1+t/100)-m. Calculer le terme général d'une telle suite arithmético-géométrique ne pose pas de problèmes particuliers. En notant a=(1+t/100), et b=-m, on a :

En écrivant que f(n)=0, il est possible de calculer une des données connaissant les autres, par exemple le montant de la mensualité si vous connaissez le taux, le montant à rembourser, et le nombre de mesualités...

Après ces préambules un peu abstrait, il est temps de passer aux exemples!

Travaux pratiques
Attention! Les nombres décimaux sont à écrire avec un point. On rentrera un taux de 4.5% et non de 4,5%!
  • Combien vais-je rembourser?

    Je vais emprunter : euros... pendant mois, au taux annuel de %.

    Vous allez payer euros par mois... Le coût total du crédit sera de euros. Bon courage!

  • Combien puis-je emprunter?

    Je souhaite rembourser par mois, et ce pendant mois. J'ai réussi à négocier un taux de %.

    Je peux donc emprunter euros au total!
  • Combien de temps va durer mon prêt?

    Je vais emprunter : euros. Je souhaite avoir une mensualité de euros par mois. Et j'ai réussi à négocier un taux annuel de %.

    Je vais donc trainer ce prêt pendant mois... Bon courage!
  • Quel est le taux réel de mon prêt?

    Je vais emprunter : euros. Mon banquier me propose une mensualité de euros pendant mois.

    Le taux réel du prêt est donc % Gare à l'arnaque!

Avec l'aimable complicité de Pierre Brachet.