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La course à handicap
Quand Nérosson était jeune et beau, il pratiquait volontiers la course à pied. Sa distance favorite était le 400 m, sans haie.
Un jour d'entrainement, au stade d'Annemasse, son regard croisa celui d'une très jolie jeune fille, qui s'entrainait aussi sur la même distance. Ce fut le coup de foudre.
D'un naturel farouche et ombrageux, on vit le beau Nérosson se rapprocher tout sourire déployé vers la gazelle et lui proposer une course à handicap qu'elle ne pouvait que remporter. Si d'aventure elle perdait, elle s'obligeait à dîner avec lui.
Un premier tour de piste de 400 m devait permettre de mesurer l'écart de performance dû à leur différence physiologique intrinsèque.
Ensuite, il était convenu qu'ils referaient une course, dans les mêmes conditions de vitesse, Nérosson devant parcourir une distance égale à 400 + un handicap égal à la distance les séparant à l'issue du premier tour.
C'est comme cela que Virginie tomba en admiration devant celui qu'elle épousa ensuite en justes noces.
En effet, au premier tour, quand Nérosson franchit la ligne d'arrivée, Virginie avait parcouru 385 mètres.
Au second tour, Nérosson partit 15 mètres derrière Virginie (pour qu'elle puisse ensuite dire "qu'il lui avait couru après" !!!), et ... gagna et la course, et le coeur de la jeune fille.
Ce n'est que beaucoup plus tard que Virginie comprit qu'à vaincre sans péril, on triomphe sans gloire !.
Pourquoi ?
Au premier tour, Nérosson fait 400 mètres et « Virginie » 385. Donc la vitesse de Nérosson est égale à 400/385 = 1,0389 fois celle de Virginie.
Au second tour, pour que les deux fassent jeu égal, il faudrait que la vitesse de Nérosson soit 415/400 = 1,0375 fois celle de Virginie.
Le deuxième rapport étant inférieur au premier, il est évident que, si chacun d'eux conserve la même vitesse qu'au premier tour, Nérosson devait fatalement gagner.
Voyage en train
Chaque journée, il part un train de Paris vers Lyon à chaque heure pleine, puis toutes les dix minutes.
Il en est de même entre Lyon et Paris. Le trajet entre les deux villes dure exactement deux heures. Lorsque je me rends de Paris
à Lyon, combien de trains vais-je croiser durant mon voyage, en comptant éventuellement les trains que je peux croiser dans les deux gares?
L'énigme nous dit que les trains partent de Paris et de Lyon exactement au même moment. Lorsque mon train part de Paris, il croise celui qui est parti
de Lyon deux heures plus tôt. Lorsque mon train arrive à Lyon, il croise celui qui part à Paris exactement à mon heure d'arrivée, soit deux heures après mon départ.
Mon train va donc croiser tous les trains qui sont partis de Lyon durant un intervalle de 4h. Il y en a exactement 6 à chaque heure, plus le dernier, c'est-à-dire 25 trains.
Retour du collège!
D’habitude Anne quitte le collège à 17 heures et sa mère vient la chercher en voiture. Un beau jour Anne sort plus tôt. Elle décide de rentrer à pied et marche pendant un quart d’heure avant que sa mère ne la rejoigne et la ramène à la maison en voiture. Ils ont alors dix minutes d’avance sur l’horaire habituel. À quelle heure Anne est-elle sortie du collège ce jour-là ?
Énigme postée par Ernst sur le forum.
Si le trajet en voiture a duré dix minutes de moins que d’habitude, c’est qu’il a été raccourci de cinq minutes à l’aller et de cinq minutes au retour. S’il a été raccourci de cinq minutes à l’aller, la mère a donc rencontré Anne à 16 h 55 au lieu de 17 h. Or à 16 h 55 Anne avait déjà marché quinze minutes, on en déduit donc qu’elle est sortie à 16 h 40.
La vieille dame et l'horloge
Une vieille dame n'avait jamais réussi à se mettre aux horloges à quartz, et tutti quanti. Elle n'avait pour lui donner l'heure qu'une seule vieille horloge, qu'elle remontait soigneusement chaque semaine. Mais une dure grippe la cloua au lit, et le dimanche venu, la vieille dame ne put remonter son horloge. Une fois rétablie, elle était fort marrie. Sans horloge, comment savoir s'il était l'heure des Feux de l'Amour?
Heureusement, tous les mardi après-midi, cette vieille dame allait chez son ami Madeleine, qui habitait à quelques kilomètres de là. La vieille dame pouvait y aller à pied. Et en rentrant chez elle, elle put régler son horloge à l'heure précise. Mais au fait, comment a-t-elle fait?
Visiblement, cette vieille dame avait encore toute sa tête. Avant de partir de chez elle, elle a pris soin de remonter l'horloge, et de la mettre à midi. Elle s'en va chez Madeleine, et note immédiatement l'heure en arrivant. Puis quand elle repart, elle regarde encore l'heure. Arrivée chez elle, elle connait :
le temps qu'elle a passé chez Madeleine.
le temps total y compris le trajet.
Elle peut donc en déduire le temps total du trajet, et donc, en divisant par deux, le temps nécessaire pour le retour. En additionnant ce temps à l'heure qu'elle a noté chez Madeleine, elle connait l'heure exacte actuelle!
Les vieilles dames
Deux vieilles dames partirent à l'aube et marchaient chacune à vitesse constante. L'une allait de A à B, et l'autre de B à A.
Elle se rencontrèrent à midi, et continuant sans s'arrêter, la première arriva en B à 16h, et la seconde en A à 21h. A quelle heure était l'aube ce jour-là ?
On va exprimer les temps en heures, les distances en km et les vitesses en km/h. Notons
$v_1$ la vitesse de la première dame;
$v_2$ la vitesse de la deuxième dame;
$x$ la distance de A au point de rencontre;
$y$ la distance de B au point de rencontre;
$t_0$ l'heure de l'aube.
Le problème comporte donc cinq inconnues. L'énoncé nous donne 4 équations :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
(12-t_0)v_1&=&x\\
4v_1&=&y\\
(12-t_0)v_2&=&y\\
9v_2&=&x.
\end{array}\right.$$
Quatre équations pour cinq inconnues, c'est normalement trop peu pour les déterminer. Mais ici
on peut ruser pour trouver $t_0$. En effet, si je fais le quotient des deux premières équations, puis le quotient des
deux dernières équations, on obtient :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{12-t_0}4&=&\frac xy\\
\frac{12-t_0} 9&=&\frac yx.
\end{array}\right.$$
En effectuant cette fois le produit des deux équations, on trouve
$$\frac{(12-t_0)^2}{36}=1\iff (12-t_0)^2=36=6^2.$$
Ainsi, l'aube a eu lieu à 6h ce jour-là.