Pour résoudre les énigmes suivantes, il faudra être à l'aise avec les suites !
L'élection présidentielle
À l'élection présidentielle, chaque candidat
obtient la moitié des voix du candidat qui le précède.
Y aura-t-il un deuxième
tour ?
Non ! En effet, si $x$ est le pourcentage de voix du premier
candidat, et s'il y a $n$ candidats, alors on a :
$$x+\frac x2+\frac x4+\cdots+\frac x{2^{n-1}}=100.$$
En factorisant par $x$, on obtient :
$$x\times \left(1+\frac 12+\frac 14+\cdots+\frac 1{2^{n-1}}\right)=100.$$
Or, d'après le calcul de la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique, on sait que :
$$1+\frac 12+\cdots+\frac1{2^{n-1}}=\frac{1-\frac1{2^n}}{1-\frac 12}=2-\frac1{2^{n+1}}< 2.$$
On obtient donc que $x>50.$ Le premier candidat est élu sans second tour.
Don Giovanni
Don Giovanni vient de disputer avec Elvira. Il sort de la maison de cette dernière,
et souhaite se consoler auprès de la belle Anna. Il cueille quelques fleurs et se dirige à cheval vers sa maison.
Arrivé à mi-route, il pense à Elvira, éprouve des remords, et fait demi-tour.
Arrivé à mi-chemin, il a des doutes, fait demi-tour et se dirige à nouveau vers la maison d'Anna.
Il reproduit ce manège un grand nombre de fois : dès qu'il a parcouru la moitié du chemin qui le sépare d'une belle, il pense à l'autre et fait demi-tour.
Au petit matin, après de nombreuses hésitations et demi-tours, Francisco voit son maître faire demi-tour sous ses
fenêtres. Quelques minutes plus tard, c'est au tour d'Octavio de se faire la même remarque.
Où sont situées les maisons de Francisco et Octavio ?
Les maisons de Francisco et d'Octavio sont situées respectivement au tiers et au deux tiers de la route entre la maison d'Elvira et la maison d'Anna.
Pour modéliser la situation, on suppose que la maison d'Elvira est située à l'origine d'une droite graduée, et que la maison d'Anna est située au point d'abscisse $1$ de cette même droite graduée. On note $a_n$ l'abscisse du point où Don Giovanni se retourne pour la $n$-ième fois. On a donc $a_1=1/2,$ et $a_2=1/4$. Pour $n$ pair, $a_n$ correspond à un retournement vers la maison d'Anna, et pour $n$ impair, $a_n$ correspond à un retournement vers la maison d'Elvira.
On obtient des formules de récurrence de la façon suivante : pour $n\in\mathbb N,$ on a
$$a_{2n+1}=a_{2n}+\frac{1-a_{2n}}2=\frac 12+\frac{a_{2n}}2$$
et
$$a_{2n+2}=\frac{a_{2n+1}}2.$$
Finalement, on obtient
$$a_{2n+2}=\frac 14+\frac{a_{2n}}4.$$
En notant $u_n=a_{2n},$ la suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence
$$u_{n+1}=\frac 14+\frac{u_n}4.$$
La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmético-géométrique et il est facile de voir que $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ tel que
$$\ell=\frac 14+\frac{\ell}4\iff \ell=1/3.$$
Par la relation de récurrence, on trouve que $(a_{2n+1})$ converge vers $2\ell=2/3.$ Ceci correspond à la conclusion donnée.