Énigmes et raisonnements mathématiques

  Il semble manquer une information, car le coût des deux premières bagues ne renseigne pas sur le coût du gramme d'or, du gramme de cuivre et du gramme d'argent. Mais on peut tout de même trouver la solution car la dernière bague est, en un sens, proportionnelle aux deux premières. Considérons en effet les 3 triplets $(2,5,4)$, $(3,5,1)$ et $(5,12,9)$. On peut remarquer que $$(5,12,9)=\frac{11}5 (2,5,4)+\frac 15 (3,5,1).$$ Autrement dit, la dernière bague peut être réalisée avec 11/5 de la première bague et 1/5 de la dernière bague. Son coût est donc $$\frac{11}{5}\times 6200+\frac 15 5300=14700\textrm{ euros}.$$ Très joli cadeau!

On va appliquer une méthode d'approximation successive de la solution, qui ressemble à l'étude des suites récurrentes en mathématiques (ou au théorème du point fixe). Pour cela, on va partir d'une solution approchée, puis on va la corriger de proche en proche jusqu'à obtenir une solution exacte. On commence donc par remplir les pointillés de sorte que le texte soit exact avec les chiffres déjà écrits. On a donc:

Bien sûr, la solution n'est pas exacte, car on a écrit trop de fois le chiffre 1. On corrige alors les nombres écrits pour que cela corresponde à la version actuelle du tableau. On obtient le nouveau tableau :

Ce n'est toujours pas une solution (le chiffre 7 apparait deux fois). On corrige et on trouve :

Ce n'est toujours pas une solution (on a fait apparaitre une fois de moins le chiffre 1, une fois de plus le chiffre 2). On corrige et on trouve :

Cela ne correspond toujours pas, il faut encore faire une correction :

Victoire! Cette fois, cela fonctionne!

Enigme brillamment résolue par Matou sur notre forum.

Non, il ne restera plus aucun scarabée. Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement mathématique connu sous le nom de principe de réflexion. Supposons que chaque scarabée porte un drapeau, et que lorsque deux scarabées se rencontrent, ils échangent leur drapeau. Alors chaque drapeau avance à une vitesse constante de 1cm par seconde, toujours dans la même direction. Si le drapeau ne quitte pas la règle pendant une heure, il parcourt 3600cm, ce qui est plus que les 10m=1000cm de la règle. Donc chaque drapeau tombe de la règle. Or, à un instant donné, chaque scarabée porte un drapeau (pas nécessairement le sien). Si tous les drapeaux sont tombés, c'est aussi le cas de tous les scarabées.

Remarquons que ce raisonnement est valable même s'il y a 30, 50 ou 100 scarabées : peu importe leur nombre!

Le point clé est de constater que $17+13+32+20+18=100$ et que 50 est la moitié de 100. Supposons que chaque robot porte un drapeau, et que lorsque deux robots se rencontrent, ils échangent de drapeau. Chaque drapeau avance alors à une vitesse constante de 1m par minute, toujours dans la même direction. Il parcourt donc 150m pendant l'expérience. Comme le cercle a pour longueur 100m, il parcourt le cercle une fois et demi, et sa position finale est la symétrique de la position initiale par rapport au centre du cercle. Donc l'écart entre les drapeaux reste le même au début et à la fin. Or, chaque robot porte un drapeau (même si ce n'est pas son drapeau initial). Donc les écarts entre les robots restent les mêmes.

Cette énigme illustre le principe de réflexion, qui est très important en mathématiques.