$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Énigmes de probabilités

Dans ces énigmes, il va falloir trouver la probabilité que certains événements se produisent ...

Le banni, l'urne et les jetons
  Un des membres du forum de la Bibm@th a eu un comportement violant les règles de fonctionnement. Yoshi, le grand modérateur, se voit dans l'obligation de le bannir. Mais il déteste devoir faire usage de la force, et lui propose le jeu suivant : "Voici 100 jetons : 50 jetons noirs, 50 jetons blancs. Voici deux urnes. Tu peux disposer dans chacune des urnes autant de jetons noirs et de jetons blancs que tu veux, du moment que tous les jetons se trouvent dans les urnes (et qu'aucune urne ne soit vide). Ensuite, je vais te bander les yeux et mélanger les deux urnes. Tu vas alors en choisir une, puis tirer un jeton au hasard dans cette urne. S'il est blanc, tu pourras revenir sur le forum. S'il est noir, je te bannis".

  Comment le membre doit-il répartir les jetons dans chaque urne pour optimiser ses chances d'éviter le bannissement?

Prédire sans rien voir !

Deux amis ont chacun deux pièces équilibrées (chacun a une pièce rouge et une pièce bleue). L'un est à Paris l'autre à New York. Au même moment ils lancent chacun leurs deux pièces (chacune est donc sur pile ou face avec probabilité 1/2). Chacun constate ses propres lancers, puis envoie une lettre rouge ou bleue à son ami (ils envoient ces lettres au même moment sans avoir communiquer). Quelques jours plus tard, les deux amis reçoivent la lettre colorée de l'autre. Chacun regarde alors si sa pièce de la couleur indiquée par la lettre reçue est sur face. Ils gagnent si les deux prédictions sont justes, ils perdent si au moins l'une des deux prédictions est fausse.

Ainsi le but pour les deux est de prédire la couleur d'une pièce de son ami qui serait sur face, tout cela sans rien voir!

Ex : À Paris, la pièce rouge est sur pile et la pièce bleue est sur face : le Parisien décide d'envoyer une lettre rouge À New York, la pièce rouge est sur face et la pièce bleue est sur pile : le New-Yorkais décide d'envoyer une lettre rouge. La prédiction du Parisien est correcte car la pièce rouge du New-Yorkais est bien sur face. Mais la prédiction du New-Yorkais est fausse car la pièce rouge du Parisien est sur pile. Ainsi dans cette configuration les deux amis ont perdu.

A priori, si chacun choisit la couleur de sa lettre au hasard, alors il y aura une chance sur quatre que les deux amis soient victorieux. Trouvez une stratégie qui leur donne une chance plus grande (strictement) de gagner !

Énigme proposée par Glozi sur le forum !

Le craps
  Dans ce jeu de dés, on lance deux dés cubiques (parfaitement équilibrés), et on regarde la somme des deux dés.
  • Votre adversaire parie 10 euros que vous obtiendrez un 8 avant de faire un 7… vous acceptez!
  • Il parie ensuite 10 euros que vous obtiendrez un 8 avant de faire 7... vous acceptez!
  • Il parie enfin 1000 euros que vous obtiendrez un 8 et un 6 avant de faire deux 7.
Acceptez-vous encore le pari???

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