Énigmes géométriques

Notons $L$ la somme des longueurs des segments ajoutés. Alors, lorsqu'on fait la somme des périmètres des 3 quadrilatères et des 4 triangles, on fait la somme des longueurs des côtés du grand triangle, et deux fois la somme des longueurs des trois segments. En effet, chaque segment se décompose en 3 parties. Chacune de ces parties est un côté d'un petit triangle et d'un quadrilatère. Sa longueur est comptée deux fois lorsqu'on fait la somme des longueurs des quadrilatères et petits triangles. On a donc l'équation : $$19+2L=20+25$$ ce qui donne $L=13$.

Introduisons des points supplémentaires comme sur la figure ci-dessous :

On note aussi $r$ le rayon du demi-cercle et $x$ la distance $GD$. On remarque que l'aire du rectangle est $r\times (r+x)$.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $BDC$ rectangle en $D,$ on trouve $$DC^2+DB^2=6^2=36.$$ Écrivant $DB=r+x$, on obtient $$DC^2+(r+x)^2=6^2=36.$$ En développant le carré, on trouve $$DC^2+r^2+2rx+x^2=36.$$ En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $CDG$ rectangle en $D,$ on a $$DC^2+DG^2=GC^2$$ c'est-à-dire $$DC^2+x^2=r^2.$$ En faisant la différence des deux équations obtenues, on trouve $$r^2+2rx=36-r^2.$$ Ceci donne alors $$2r^2+2rx=36$$ soit finalement $$r(r+x)=18.$$ L'aire du rectangle est donc $18\ \textrm{cm}^2.$

Il suffit de les placer tangentes deux à deux en hexagone comme sur le dessin ci-dessus.

Il suffit de les aligner comme sur la figure ci-dessous :

En fait, si l'on prend 6 droites, 2 à 2 non parallèles, et qui ne se coupent jamais à 3 ou plus en un même point, il y a 15 points d'intersection. Il suffit de disposer les arbres aux points d'intersection de ces droites.

On va d'abord recouvrir le carré par 25 cercles de rayon 1cm. Pour cela, on peut commencer par remarquer que $5\times\sqrt 2>7$. Ainsi, on peut recouvrir le carré de côté 7cm par $5\times 5=25$ carrés de côté $\sqrt 2cm$. Les cercles circonscrits à ces carrés recouvrent le grand carré, et sont de rayon exactement égal à 1cm.

Maintenant, si aucun de ces cercles ne contient 3 points, alors ils en contiennent tous au plus 2, et il y aurait au plus $2\times 25=50$ points, ce qui n'est pas le cas !

Vous sauverez Véro en remarquant que l'emplacement de la potence n'a pas d'influence sur le point que l'on trouve au final. Regardez le dessin suivant : la potence a été placée à deux endroits différents, $P_1$ et $P_2$. En suivant toute la démarche indiquée dans le parchemin, on trouve le même point!

Expliquons géométriquement ce fait. On note $P$ la potence, $C$ le chêne, $E$ l'érable, $T$ le trésor, $J$ le premier pieu, $K$ le second. On se place dans le repère suivant : $C$ est le centre du repère, $(CE)$ est l'axe des abscisses, et le repère choisi est orthonormé. $E$ a pour coordonnées $(a,0),$ et $P(x,y)$ ($x$ et $y$ sont inconnues). $K$ est obtenu à partir de $P$ par rotation de centre $C$ et d'angle $-\pi/2.$ Ses coordonnées sont donc $K(y,-x).$ $J$ est obtenu à partir de $P$ par rotation de centre $E$ et d'angle $\pi/2.$ Ses coordonnées sont donc $J(a-y,x-a).$ Les coordonnées de $T$ milieu de $[KJ]$ sont donc $T(a/2,-a/2).$ Cela ne dépend pas des coordonnées de la potence.

Pour Véro, il suffit donc de prendre n'importe quel point de l'ile pour point de départ. Le plus facile est encore de prendre un des deux arbres!