Cryptarithmes
Un cryptarithme est une opération mathématique dans laquelle les chiffres ont été remplacés par des lettres, et vérifiant les règles suivantes :
- un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre;
- une lettre donnée représente toujours le même chiffre;
- aucun nombre ne peut commencer par un zéro.
Un joli cryptarithme doit "signifier" quelque chose lorsqu'on l'écrit en lettres. Et idéalement, il n'a qu'une seule solution. Voici quelques cryptarithmes pour vous exercer !
Cryptarithme de jeu de cartes
DAME+DAME+DAME+DAME=CARRE.
Le chiffre des unités donne déjà $E=0$. On remarque aussi que $R$ est nécessairement pair.
De plus, la retenue de $4M$ doit être pair, puisque si on note cette retenue $r$, $4A+r$ est pair.
Ainsi, $4M$ doit être compris entre 0 et 8, ou entre 20 et 28. Cela laisse quelques possibilités pour $M$.
Finalement, la solution est donc $4970+4970+4970+4970=19880$.
- $M=0$, mais c'est impossible puisque $E=0$.
- $M=1$, qui donne $R=4$. On a alors $A=6$, et le chiffre des unités de $4D+2$ vaut $6$. Ceci n'est possible que si $D=1$ (impossible car $M=1$) ou si $D=6$ (impossible car $A=6$). Ce cas ne donne pas de solutions.
- $M=2$, ce qui donne $R=8$. Dans ce cas, on a forcément $A=7$ et donc le chiffre des unités de $2+4D$ doit être égal à $7$. Ce n'est pas possible!
- $M=5$, qui donne $R=0$ : non!
- $M=6$, qui donne $R=4$, puis $A=3$ ou $A=8$. Mais $A=3$ donne $D=3$ ou $D=8$. Le premier cas est impossible et le second donne $C=3$, impossible puisque $A=3$. Le cas $A=8$ donne que le chiffre des unités de $4D+3$ est pair, ce qui n'est pas possible.
- Il reste le cas $M=7$, et on vérifie par un raisonnement tout à fait similaire aux précédents qu'il ne peut conduire qu'à une solution, avec $R=8$, $A=9$, $D=4$ et $C=1$.
Cryptarithme musical
Les 3 équations suivantes sont à traiter ensemble :
RE + MI = FADO + SI = MI
LA + SI = SOL
L'équation LA + SI = SOL donne S = 1. L'équation DO + SI = MI donne O=0.
L'équation LA + 1I = 1OL implique que L vaut 8 ou 9.
Mais si L=8, on doit avoir A+I=18 pour avoir une retenue, ce qui est impossible. On a donc L=9.
Il vient alors A+I=9, et aussi de D0+1I=MI, on a D+M=1.
On discute alors les valeurs de A :
Il reste donc la solution A=3, qui donne I=6 et E=7. On trouve alors une solution (unique)
avec R = 2, D = 4, M = 5, F = 8.
Donc, l'unique solution est S = 1, R = 2, A = 3, D = 4, M = 5, I = 6, E = 7, F = 8, L = 9, O = 0, ce qui donne :
27 + 56 = 83
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109
- A ne peut pas être 0, 1, ou 9, qui sont déjà utilisés.
- A ne peut pas être 8, sinon I serait égal à 1, qui est déjà utilisé.
- A ne peut pas être 6, sinon I serait égal à 3, et RE+MI=FA donnerait aussi E=3.
- A ne peut pas être 5, sinon I serait égal à 4, et alors E serait égal à 1, qui est utilisé.
- A ne peut pas être 4, sinon I serait égal à 5, et alors E serait égal à 9, qui est déjà utilisé.
- A ne peut pas être 7, sinon I serait égal à 2 et E serait égal à 5. Mais RE+MI=FA donnerait alors R+M=F, ce qui ne peut pas être réalisé puisque R,M,F doivent être éléments de 3,4,6,8.
- A ne peut pas être 2, sinon I serait égal à 7 et E serait égal à 5. Il faudrait alors (RE+MI=FA) que R+M+1=F avec R,M,F dans 3,5,6,8 : impossible.
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109
Cryptarithme animal
LIONNE+TIGRE=TIGRON
Commençons par la propriété que l'on peut déduire à coup sûr. D'abord, on remarque que N est pair.
Ensuite, on sait que T=L+1, et que $I+T\geq 10$ pour qu'il y ait une retenue.
En même temps, on doit avor $I+T=I$ ou $I+T+1=I+10$ (cas où il y a une retenue).
Puisque $T$ ne peut pas être nul, on a donc
$$T=9\textrm{ et }L=8\textrm{ et }N\in\{0,2,4,6\}.$$
Par ailleurs, $O+I$ doit être supérieur ou égal à 10 pour engendrer une retenue,
et donc, puisqu'ils sont tous deux inférieur ou égal à $7$, on a
$$O\geq 3\textrm{ et }I\geq 3\textrm{ et }G\leq 4.$$
On va maintenant discuter suivant les valeurs possibles de $N$ et de $E$.
Finalement, on vient de prouver que la seule solution est $867221+96351=963572$.
- Si $N=2$ et $E=6$, alors on a $3+R=O$ (rappelons que $O$ ne peut pas être nul, et que $R\leq 7$), puis $2+G=R$ et $O+I=10+G$. On en déduit que $I=5$, puis en résolvant les 3 dernières équations, que $G=5$ et $O=6$, ce qui est impossible puisqu'on a déjà $E=6$.
- Si $N=2$ et $E=1$, alors on a $2+R=O$, $2+G=R$ et $O+I=10+G$, et donc $I=6$, $G=3$, $R=5$ et $O=7$. Ceci donne la solution $867221+96351=963572$.
- Si $N=4$ et $E=2$, alors on a $4+R=O$ (rappelons qu'on doit toujours avoir $O\geq 3$), puis $R=4+G$ et $10+G=O+I$. On en déduit que $I=2$, impossible!
- Si $N=4$ et $E=7$, alors on a $O=5+R$, $R=5+G$ et donc $O=10+G$, impossible!
- Si $N=6$ et $E=3$, alors on peut avoir $O=6+R$, et donc $R\leq 1$. Dans ce cas, on doit avoir $10+R=6+G$ et comme $G\leq 4$, on en déduit $R=0$ et $O=6$, impossible. On peut aussi avoir $10+O=6+R$, et comme $O\geq 3$ et $R\leq 7$, on en déduit que $O=3$ et $R=7$. Mais c'est impossible, car on a déjà $E=3$.
Cryptarithme anglais
On le sait tous déjà, mais TEN+TEN+FORTY=SIXTY.
Les seules valeurs possibles pour N sont N=0 ou N=5. Commençons par
envisager le cas N=0. Dans ce cas, E=5 et on doit avoir (il y a une retenue) : 1+T+T+FOR=SIX.
On tire de cela beaucoup d'informations. D'abord, puisque tous les chiffres sont différents,
on doit avoir $S=F+1$. De plus, O+une éventuelle retenue soit supérieure ou égale à 10, pour qu'il y ait une retenue
dans la dernière colonne. Ainsi, on ne peut avoir que $O=8$ et $1+T+T+R\geq 20$ ou $O=9$ et $10\leq 1+T+T+R$.
Le premier cas est impossible, sinon on aurait $I=0$ ce qui est impossible puisqu'on a déjà $N=0$. Donc
on a forcément $O=9$ et de même, on a forcément $1+T+T+R\geq 20$ et $I=1$. Puisque $R\leq 7$, on doit avoir $T\geq 6$
et on envisage tous les cas possibles.
Le cas $N=5$ est lui très facile. En effet, il entraîne une retenue égale à 1 sur la deuxième colonne, et $T+2E+1$ est de parité opposée
à $T$, ce qui est incompatible avec le résultat de l'opération.
snbsp;Finalement, la solution est donc $850+850+29786=31486$.
- $T=6$, alors $R=8$ et $X=1$ : non car $I=1$.
- $T=7$ alors $R\geq 6$ et $R\neq 5,7,9\implies R=8$ et donc $X=3$. Mais $F,S$ sont des entiers consécutifs, et il ne reste plus de place car les entiers disponibles sont $2,4,6$.
- $T=8$, on sait que $R\geq 4$ et on peut étudier tous les cas possibles pour $R$. Assez rapidement, on voit que le seul cas possible est $R=7$, qu donne $X=4$, puis $F=2$ et $S=3$ (deux derniers entiers consécutifs disponibles), et $Y=6$, dernière valeur disponible.
- $T=9$ est impossible car on a déjà $O=9$.
Cryptarithme espagnol
Je ne vous apprendrai pas que 4+4+4+4+4=20. Mais ceci est aussi vrai en espagnol :
CUARTO+CUARTO+CUARTO+CUARTO+CUARTO=VEINTE.
Puisque CUARTO et VEINTE ont le même nombre de chiffres, et que CUARTO ne commence pas par 0, il est nécessaire
que C=1 et donc $V\geq 5$. On peut ensuite facilement déterminer E et A. Le chiffre des unités nous dit que E=0 ou E=5.
Regardons désormais la deuxième colonne. Puisque E=0 ou 5, 5U+retenue issue de la colonne précédente doit être un multiple de 5.
Mais cette retenue doit être comprise entre 0 et 4. Ceci n'est possible que si A=0 ou si A=1, mais ce dernier cas
est impossible puisque on sait déjà que C=1. Ainsi, A=0 et E=5. De plus, on en déduit que O et U sont
impairs, et aussi que $V\geq 6$ (il y a une retenue pour le calcul de la première colonne).
Observons maintenant la troisième colonne. On doit avoir $I\geq 3$ et $T\geq 4$ car il y a forcément une retenue
au moins égale à 2. Ainsi, on a $I=2,3$ ou 4. On envisage tous les cas possibles.
Finalement, la solution est donc $170649×5 =853245$.
- I=2, alors T=4 et O=9. R doit être pair, et il ne reste plus comme possibilité que R=6 ou R=8. R=6 convient et donne N=0, U=7 et V=8. R=8 donne N=T=4 est un cas à écarter.
- I=3, alors T=6 ou 7 et l'analyse des deux dernières colonnes donne que 5R se termine par 5 puis que O=3 ou 5 pour pouvoir avoir T=6 ou 7. Mais ces deux valeurs sont déjà choisies, c'est impossible.
- I=4, alors T=8 ou 9. Si T=8, alors O=7. Il reste pour R les valeurs 3, qui donne N=1, impossible, ou R=9, qui donne encore N=4, ce qui est toujours impossible. Si T=9, alors O=9, impossible!
Cryptarithme à boire
COCA+COLA=OASIS
D'après le Bulletin de l'APMEP n°529
On remarque d'abord que OASIS<20000, et donc que O=1. Ensuite on a
En résumé, on a 8186+8106=16292.
- S est pair : en effet, S=A+A ou S=A+A-10.
- La lecture du chiffre des centaines montre que O+O=S, ou O+O+1=S, suivant que l'addition des dizaines a donné une retenue ou non. Ainsi, S=2 ou S=3. Comme S est pair, on a S=2.
- si on retourne au chiffre des unités, on a donc A+A=2 ou A+A=12. Le premier cas est à exclure, puisque A ne peut être égal à 1. Donc A=6.
- en étudiant le chiffre des miliers, on voit que C+C=16, et donc C=8.
- enfin, en étudiant le chiffre des dizaines, 8+L+1 ne peut pas avoir de retenue et donc L=0 ce qui donne I=9.
Cryptarithme additif
Est-il vrai que UN+UN+NEUF=ONZE?- Puisque ONZE>NEUF, on a $O\geq N+1$. Puisque UN+UN<200, on a nécessairement O=N+1.
- on a UN+UN<200, et EUF+UN+UN=1000+NZE>1100 (N ne peut pas être égal à 0 puisqu'il commence le nombre NEUF). Ainsi, on a nécessairement E=9. Mais, toujours en utilisant les inégalités précédentes et les reports possibles de retenue, on ne peut avoir que N=1 (sinon 1000+NZE serait trop grand), et donc O=1.
- Le chiffre des unités donne ensuite F=7.
- Avec le chiffre des dizaines et des centaines, on a U+U+U=Z et 19+0=21 (impossible), ou bien U+U+U=U+10 et 19+1=21 (impossible), ou bien U+U+U=Z+20 et 19+2=21 (possible!). U est donc égal à 7,8 ou 9. Mais 9 est déjà pris, et si U=7, alors Z=1 qui est déjà pris. Donc U=8 et Z=4.
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