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sofia²

Invité

définition de l'implication

Bonjour,
je faisais des maths pour m'amuser. Je ne comprends pas pourquoi A implique B veut dire non A ou B
pouvez vous m'expliquer cela svp? j'ai un niveau bac s

stfj

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Re : définition de l'implication

bonjour,
On ne fait pas de maths, même pour "s'amuser", sans s'obliger à être précis, et sans s'assurer qu'on comprend de quoi il en retourne. Il faut savoir que la plupart des mathématiciens professionnels négligent la logique et je mettrais volontiers en garde : il y a bien d'autres choses à faire en maths, surtout pour s'amuser, que de la logique.
Néanmoins, comme cette question me turlupine aussi depuis de nombreuses années voire décennies, j'ai envie à nouveau de m'y attarder ici :).
1) ce n'est pas "non A ou B" qui ne veut pas forcément dire grand chose, mais ((nonA) ou B);
2) pour s'en convaincre, sans doute serait-il utile de s'attarder sur non ( A ou B );
3) la logique a été conçue par ses concepteurs comme l'élaboration de FONDEMENTS solides à des Mathématiques dont les mêmes fondements étaient remis en cause par des PARADOXES. FONDEMENTS, cela signifie que pour aborder la logique sereinement, il faut s'appuyer sur DE NOMBREUX EXEMPLES, pourquoi pas le théorème de Pythagore vu en 4è en France ...
4) Des TABLES DE VéRITé permettent une première approche mais il ne faut pas se méprendre : on n'y comprend vraiment quelque chose qu'APRèS avoir trouvé des EXEMPLES MATHéMATIQUES [il y en a plein concernant l'ensemble vide: par exemple, que signifie : "l'ensemble vide est une partie de tout ensemble "?...]
5) Enfin, pour vous assurer que vous avez compris, je vous suggère de retrouver des résultats tels que (A=>B)<=>((nonB)=>(nonA)) (*) qu'on utilise constamment en maths. L'idée est "LE CALCUL DES PROPOSITONS". On ne fait pas de la logique gratuitement, on en fait parce qu'on en éprouve le besoin constant dans sa pratique mathématique quotidienne... Il s'agit de répondre ici à la question : A quoi ça sert?, est-ce que ça vaut le coup que je m'attarde sur ces questions épineuses pour le moins.
Bref, c'est une question très profonde que vous posez là, @sofia², mais vous avez les moyens d'y répondre avec votre niveau.
cordialement,
stfj

Dernière modification par stfj (24-07-2022 13:06:26)

stfj

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Re : définition de l'implication

Re-bonjour,
Je me propose ici de donner des exemples:
* par exemple, pour illustrer ma remarque 2) dans le commentaire ci-dessus, on peut penser à non (RECTANGLE ou ISOCELE) pour un triangle. On rappelle au passage qu'un triangle peut être à la fois rectangle ET isocèle.
* La question qui se pose alors- une fois qu'on a réfléchi au précédent point- est : un triangle rectangle est-il forcément isocèle ? autrement dit l'ASSERTION "Un triangle rectangle est forcément isocèle" est-elle VRAIE ?
* On comprendra alors que la question posée par @sofia² est une question profonde et qu'une réponse par un seul recours aux tables de vérité laisserait de côté toute la pratique mathématique qui a mené à l'élaboration de la logique et la rendrait imperméable aux débutants, ce qui n'est évidemment pas le but de la question posée par @sofia² ici, n'est-ce pas?
* La logique qu'utilisent les mathématiciens est une logique à deux valeurs dites "de vérité" : VRAI(V) et FAUX(F). Prenons un exemple que tout le monde reconnaîtra : Soit A la proposition "(a,b,c) RECTANGLE" et B la proposition "c²=a²+b²". On peut alors comparer l'écriture des mathématiciens (A=>B) et celle des logiciens [non[(a,b,c) RECTANGLE] OU [c²=a²+b²]]. Laquelle est la plus parlante finalement ? Surtout si l'on prend des cas particuliers qu'on pourra d'ailleurs présenter à des élèves qui découvent la relation de Pythagore [[(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17),...];[remarque pour les collègues: ICI, il faut faire bien attention : le théorème de Pythagore est l'affirmation du fait que tous les triangles rectangles vérifient la relation de Pythagore; on ne dit rien sur le fait de savoir si un triangle vérifiant la relation de Pythagore sera forcément rectangle; c'est l'objet de la RECIPROQUE du théorème de Pythagore(anciens programmes français, les nouveaux étant, on en conviendra, complètement délirants sur ce point précis).]
* il y a un exemple qui risque fort de devenir un classique [Roger Godement, Analyse mathématique l, springer, 1998] : pour examiner les cas pathologiques des tables de vérité associés à l'implication : "tout homme ayant dépassé l'âge de cinq cents ans fait l'amour trois fois par jour." :)
* Si l'on s'est à peu près convaincu de l'identité de (A=>B) et de ((nonA) ou B), cherchons à démontrer que si E est un ensemble, alors l'ensemble vide est une partie de E, ce qui laisse désarmés de nombreux étudiants. On cherche à démontrer que si x appartient à Vide, alors x appartient à E. Or, non(x appartient à Vide) est la Définition de Vide. Donc (non(x appartient à Vide) ou x appartient à E) est Vrai. CQFD. Par exemple, en théorie des probabilités utilisée en collège et en lycée, où les ensembles considérés U (comme Univers) sont tous FINIS, et où la tribu est l'ensemble des parties P(U), il ne faut pas oublier de compter Vide parmi les parties à considérer : par exemple la probabilité d'obtenir un 7 quand on jette un dé à six faces (U:={1,2,3,4,5,6})... Le fameux EVENEMENT IMPOSSIBLE Vide contenu dans U.
* Si l'on m'autorise une digression personnelle, j'ai découvert la logique en CPGE où j'avoue n'y rien avoir compris sans que cela me gêne pour faire des maths, puis dans le COURS d'ALGEBRE de Roger Godement de 1966; vous voyez, il en reparlait encore en 1998, avec le talent que tout le monde lui reconnaît. Ce que je veux dire, c'est que c'est un sujet qui mérite du temps long, à moins qu'on ne choisisse de s'y spécialiser; il y a fort peu de mathématiciens et encore moins de logiciens.

Dernière modification par stfj (24-07-2022 14:26:46)

Zebulor

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Re : définition de l'implication

Bonjour,
ces notions de logique ne sont pas évidentes, y compris pour moi ...

Je ne comprends pas pourquoi A implique B veut dire non A ou B
pouvez vous m'expliquer cela svp? j'ai un niveau bac s

Peut être qu'il est plus facile pour sofia de voir que non(A implique B) est équivalent à (A et non B)
De là non(non(A implique B)) équivaut à (A implique B) équivaut à (non A ou B)
Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles $(A \bigcap \bar B)$ est la réunion de leur complémentaire soit : $\bar A \bigcup B$

Et encore je me demande s'il est juste décrire "équivant à" lorsqu'il ne s'agit pas de deux implications
A titre de complément sur ce site :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … gique.html

Et aussi,voire surtout cette discussion :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13994

Et je permets aussi d'indiquer celle ci : un prof de maths de l'université de La Rochelle . Très instructif avec des exercices.
https://www.youtube.com/watch?v=zdW1Nqsg040

Dernière modification par Zebulor (30-07-2022 06:10:38)