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Ytbur

Invité

Dérivabilité de sin✓|x|

Bonjour, s'il vous plaît est ce que je peux dire que sin✓|x| n'est pas dérivable en 0 car |x| n'est pas dérivable en 0?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dérivabilité de sin✓|x|

Bonjour

  Non il faut une justification plus précise...

F.

Ytbur

Invité

Re : Dérivabilité de sin✓|x|

Par Composition de la dérivée , ✓|x| n'est pas dérivable en 0 car |x| n'est pas dérivable en 0, et de même sin ( ✓|x|) n'est pas dérivable en 0 puisque ✓|x| n'est pas dérivable en 0 ?
Merci beaucoup.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Dérivabilité de sin✓|x|

Bonsoir,

La justification que tu proposes n'est pas correcte. Il n'existe pas de résultat qui dit que la composée d'une fonction dérivable et d'une fonction non dérivable est non dérivable. C'est même un résultat qui peut être mis en défaut. Pense à l'exemple suivant : $f(x)=|x|^2$. La fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$, et pourtant lorsqu'on met au carré, ça devient dérivable...

Dans ton exemple, le plus simple est peut être de revenir à la définition de la dérivée. Le taux d'accroissement $\frac{\sin(\sqrt h) - \sin(\sqrt 0)}{h-0}$ a-t-il une limite lorsque $h$ tend vers $0$ ?

Roro.

Ytbur

Invité

Re : Dérivabilité de sin✓|x|

Donc si on fait tendre celà vers 0+ , on obtient une limite infinie,d'où la non-dérivabilité .
Un grand merci pour vous @Roro, @Fred .