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gigi

Invité

Existence du minimum d'une fonction à plusieurs variables

Bonjour,

Dans l'exercice 12 de ce lien https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo  l'auteur de la correction a déduit de la limite en l'infini qui est égale à 0 l'existence du minimum par compacité.

comment la compacité a-t-elle permis d'effectuer cette déduction?

gigi

Invité

Re : Existence du minimum d'une fonction à plusieurs variables

réctification : le maximum*

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Existence du minimum d'une fonction à plusieurs variables

Bonjour,

Soit $(x_0,y_0)$ n'importe quel point de $G$. On sait que $f(x_0,y_0)>0$. Par définition de la limite, il existe
$A>0$ tel que, pour tout $(x,y)\in G$, si $\|(x,y)\|>A$, alors $f(x,y)<f(x_0,y_0)$.

Posons $G_0=G\cap \{(x,y):\ \|(x,y)\|\leq A\}$. Alors $G_0$ est compact et $f$, qui est continue,
atteint son maximum sur $G_0$. Notons $M$ ce maximum. Bien entendu, on a $M\geq f(x_0,y_0)$
puisque $(x_0,y_0)\in G_0$.
Et ainsi, $M$ est le maximum de $f$ sur $G$ car si $(x,y)\in G\backslash G_0$,
$f(x,y)<f(x_0,y_0)\leq M$.

F.