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Bernard-maths

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Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonjour à tous !

Ce thème va apparaître dans les calculs d'aires de polygones croisés, entreprise avec Wiwaxia. Voir :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15155

Ne trouvant pas vraiment de réponse "simple et claire", je vous propose de discuter de l'intérieur et de l'extérieur d'une courbe fermée dans un plan. Il paraît qu'un certain théorème de Jordan dirait qu'une telle courbe fermée est bornée dans le plan, et qu'elle partage ce plan en 2 zones connexes, dont elle est la frontière. L'une de ces zone, bornée, est l'intérieur de la courbe, l'autre zone, non bornée, en est l'extérieur.

Alors, pratiquement, étant donnée une courbe fermée, comment savoir si on est DEDANS ou DEHORS ?

Bien sur, j'ai quelques idées, mais je vais vous les présenter plus tard, dans les discussions !

Eh bien alors, la parole est à vous, pour vos suggestions ! Merci !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2022 10:40:14)

Wiwaxia

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonjour,

Je pressentais l'arrivée inéluctable de cette question.

On peut déterminer autour de chaque point du plan le nombre (K) d'enroulements réalisés par un polygone orienté.

Cette grandeur algébrique est définie par la relation: 2π.K = Σ_i=0^N-1Angle(OM_i , OM_j) ,
avec j = (i + 1) MOD N .
Ses valeurs non-nulles sont positives dans le cas de la figure ci-dessous, où le polygone est orienté dans le sens trigonométrique.

La définition binaire des zones intérieures et extérieures découle alors de la parité de (K), les premières correspondant aux nombres impairs d'enroulements; elles alternent systématiquement de part et d'autre de chacune des arêtes.

Il suffit, pour identifier un domaine quelconque, de tracer une demi-droite partant d'un point du domaine considéré, et de dénombrer ses intersections avec les arêtes de la figure; le domaine appartient à l'intérieur (ou à l'extérieur) suivant la parité du résultat:

on a en effet r = N_int MOD 2 = 1 (ou 0).

Bernard-maths

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonjour à tous !

Wiwaxia réagit ! Mais avec une figure légèrement différente, attention !

Le coup de la (demie) droite sécante est, je pense, le plus connu.

Visuellement, on voit bien où mettre un point O (mobile si nécessaire) à l'extérieur de la figure.
On trace alors une demie droite issue de O, qui peut tourner autour du point O.

On regarde alors les points d'intersections de la demie droite avec la figure.
A chaque point d'intersection simple, il y a changement du statut "dedans / dehors" !

Si le point d'intersection est double (croisement simple de 2 côtés), alors on franchit la figure 2 fois ! Donc pas de changement du statut "dedans / dehors" !

Donc faire attention à la "parité d'intersection" du point : paire ne change rien, impaire change le statut ...

Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2022 17:22:57)

yoshi

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Hello wiwaxia,

Ta formule est bien celle-ci :
$2π.K =\sum\limits_{i=0}^{N-1}(\overrightarrow{OM_i}, \overrightarrow{OM_j})$ avec $j = (i + 1)\; [N]$  ?

@+

Wiwaxia

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonjour Yoshi,

... Ta formule est bien celle-ci :
$2π.K =\sum\limits_{i=0}^{N-1}(\overrightarrow{OM_i}, \overrightarrow{OM_j})$ avec $j = (i + 1)\; [N]$  ? ...

Sans doute - je ne suis pas coutumier de la notation employée en fin de ligne, et je me rabats souvent sur le Pascal.
Je ferai un effort, c'est promis.

... / ... Wiwaxia réagit ! Mais avec une figure légèrement différente, attention ! ...

J'ai modifié légèrement un paramètre, afin de rendre bien visibles tous les domaines. L'aspect de l'ensemble est néanmoins préservé.

... / ... Le coup de la (demie) droite sécante est, je pense, le plus connu.
Visuellement, on voit bien où mettre un point O (mobile si nécessaire) à l'extérieur de la figure.
On trace alors une demie droite issue de O, qui peut tourner autour du point O.

On regarde alors les points d'intersections de la demie droite avec la figure.
A chaque point d'intersection simple, il y a changement du statut "dedans / dehors" ! ...

La demie-droite doit partir d'un point situé dans le domaine envisagé, et on la parcourt suffisamment loin pour se retrouver à l'extérieur de la figure.

... / ... Si le point d'intersection est double (croisement simple de 2 côtés), alors on franchit la figure 2 fois ! Donc pas de changement du statut "dedans / dehors" !

Donc faire attention à la "parité d'intersection" du point : paire ne change rien, impaire change le statut ...

J'ai exclu le cas singulier pour lequel la demie-droite passe par un sommet ou un point d'auto-intersection, car cela amène des complications programmatoires assez lourdes.

Bernard-maths

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonsoir à tous !

Voilà pour illustrer la demie droite :

Différentes demies droites sont tracées à partir de O' ; en rouge c'est l'extérieur, en vert c'est l'intérieur !

Au lieu d'une demie droite, on peut partir de O' et "se promener" (en arcs de cercles ici). On peut s'arrêter n'importe où, ou revenir au point O' (ici) !

Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (05-07-2022 20:31:29)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

Bonsoir,

Es-tu sûr que en disposant des équations des droites, en utilisant ensuite un ou plusieurs systèmes d'inéquations à 2 inconnues, on ne peut arriver à faire aussi bien ?
Peut-être que ce serait plus long ?

@+

Wiwaxia

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

@ Bernard-maths:
J'aurais pris le point de vue inverse, en plaçant le point de départ de la demie-droite dans le domaine envisagé.
Le nombre d'intersections est pair pour tout point d'un domaine situé à l'extérieur du polygone (par ex. M), impair dans l'autre cas (par ex. N):

Bernard-maths

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Re : Vous êtes DEDANS ? Ou bien DEHORS ?

@ Yoshi, @ Wiwaxia ! Bonjour.

Voilà des idées à étudier !

Personnellement, je préfère partir d'un point extérieur, car je le vois "mieux" ? Ce qui compte surtout c'est de savoir, à un endroit au moins, si on est dedans ou dehors ! Après on franchit un à un les différents côtés (ou arcs de courbe) pour passer d'un région à l'autre.

Si on passe par un point de croisement, il faut connaître son "ordre de multiplicité" ...

GeoGebra semble le faire ... comment ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (06-07-2022 06:32:07)