Forum de mathématiques - Bibm@th.net

user1992

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Formule de Grassmann

Bonjour,

Je souhaite établir la formule de Grassamann en utilisant les applications linéaires. On considère l'application linéaire surjective $f$  de $F \times G$ sur $F+G$ qui envoie $(u,v)$ sur $u-v.$ Son noyau (qui est un sous espace vectoriel de $F \times G$) contient les couples de $F \times G$ de la forme $(u,u).$ Plus précisément : $$\ker f = \{(u,u) : u \in F \cap G \}$$

Alors, on a : $$\ker f = (F \cap G) \times (F \cap G) ~\text{ou}~ \ker f = F \cap G~?$$ 

Si on avais $\ker f = F \cap G$, alors les éléments du noyau ne seraient pas des couples et si $\ker f = (F \cap G) \times (F \cap G)$, alors on voit apparaître un facteur $2$ en appliquant la formule du rang.

D'avance merci.

User.

Roro

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Re : Formule de Grassmann

Bonsoir,

Par définition, $\ker f$ est un sous-espace de $F \times G$, mais tu n'as pas $\ker f = (F \cap G) \times (F\cap G)$ puisque dans ce dernier tu as des éléments de la forme $(a,b)$ avec $a\neq b$...

En écrivant cette égalité

$$\ker f = \{(u,u) : u \in F \cap G \}$$

tu écris implicitement qu'il y a un bijection entre $\ker f$ et $F \cap G$ (tu identifies tous les éléments de $\ker f$ à un élément de $F \cap G$). Tu as donc bien $\dim \ker f = \dim F \cap G$.

Roro.

Dernière modification par Roro (27-06-2022 21:13:44)

user1992

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Re : Formule de Grassmann

Merci !